Страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

10. (Устно.) Выполняются действия с многозначными числами.

Установить, как изменится:

1) сумма, если одно слагаемое увеличить на 120, а второе уменьшить на 84;

2) сумма, если одно слагаемое уменьшить на 95, а второе увеличить на 69;

3) разность, если уменьшаемое увеличить на 48, а вычитаемое увеличить на 30;

4) разность, если уменьшаемое увеличить на 57, а вычитаемое уменьшить на 19;

5) разность, если уменьшаемое уменьшить на 33, а вычитаемое увеличить на 25;

6) произведение, если каждый множитель увеличить в 3 раза;

7) произведение, если один множитель увеличить в 54 раза, а другой уменьшить в 2 раза;

8) частное, если делимое увеличить в 6 раз, а делитель увеличить в 3 раза;

9) частное, если делимое увеличить в 8 раз, а делитель уменьшить в 2 раза;

10) частное, если и делимое, и делитель увеличить в 5 раз.

1) сумма, если одно слагаемое увеличить на 120, а второе уменьшить на 84;

Пусть первоначальные слагаемые равны $a$ и $b$. Их сумма $S = a + b$. Новые слагаемые будут $(a + 120)$ и $(b - 84)$. Новая сумма $S_{новая} = (a + 120) + (b - 84) = a + b + 120 - 84 = (a + b) + 36 = S + 36$. Это значит, что сумма увеличится на $120 - 84 = 36$.

Ответ: сумма увеличится на 36.

2) сумма, если одно слагаемое уменьшить на 95, а второе увеличить на 69;

Пусть первоначальные слагаемые равны $a$ и $b$. Их сумма $S = a + b$. Новые слагаемые будут $(a - 95)$ и $(b + 69)$. Новая сумма $S_{новая} = (a - 95) + (b + 69) = a + b - 95 + 69 = (a + b) - 26 = S - 26$. Это значит, что сумма изменится на $-95 + 69 = -26$.

Ответ: сумма уменьшится на 26.

3) разность, если уменьшаемое увеличить на 48, а вычитаемое увеличить на 30;

Пусть первоначальное уменьшаемое равно $a$, а вычитаемое равно $b$. Их разность $D = a - b$. Новое уменьшаемое будет $(a + 48)$, а новое вычитаемое — $(b + 30)$. Новая разность $D_{новая} = (a + 48) - (b + 30) = a + 48 - b - 30 = (a - b) + (48 - 30) = D + 18$.

Ответ: разность увеличится на 18.

4) разность, если уменьшаемое увеличить на 57, а вычитаемое уменьшить на 19;

Пусть первоначальное уменьшаемое равно $a$, а вычитаемое равно $b$. Их разность $D = a - b$. Новое уменьшаемое будет $(a + 57)$, а новое вычитаемое — $(b - 19)$. Новая разность $D_{новая} = (a + 57) - (b - 19) = a + 57 - b + 19 = (a - b) + (57 + 19) = D + 76$.

Ответ: разность увеличится на 76.

5) разность, если уменьшаемое уменьшить на 33, а вычитаемое увеличить на 25;

Пусть первоначальное уменьшаемое равно $a$, а вычитаемое равно $b$. Их разность $D = a - b$. Новое уменьшаемое будет $(a - 33)$, а новое вычитаемое — $(b + 25)$. Новая разность $D_{новая} = (a - 33) - (b + 25) = a - 33 - b - 25 = (a - b) - (33 + 25) = D - 58$.

Ответ: разность уменьшится на 58.

6) произведение, если каждый множитель увеличить в 3 раза;

Пусть первоначальные множители равны $a$ и $b$. Их произведение $P = a \cdot b$. Новые множители будут $(3a)$ и $(3b)$. Новое произведение $P_{новое} = (3a) \cdot (3b) = (3 \cdot 3) \cdot (a \cdot b) = 9 \cdot P$.

Ответ: произведение увеличится в 9 раз.

7) произведение, если один множитель увеличить в 54 раза, а другой уменьшить в 2 раза;

Пусть первоначальные множители равны $a$ и $b$. Их произведение $P = a \cdot b$. Новые множители будут $(54a)$ и $(b/2)$. Новое произведение $P_{новое} = (54a) \cdot (b/2) = (54/2) \cdot (a \cdot b) = 27 \cdot P$.

Ответ: произведение увеличится в 27 раз.

8) частное, если делимое увеличить в 6 раз, а делитель увеличить в 3 раза;

Пусть первоначальное делимое равно $a$, а делитель равен $b$. Их частное $Q = a/b$. Новое делимое будет $(6a)$, а новый делитель — $(3b)$. Новое частное $Q_{новое} = (6a)/(3b) = (6/3) \cdot (a/b) = 2 \cdot Q$.

Ответ: частное увеличится в 2 раза.

9) частное, если делимое увеличить в 8 раз, а делитель уменьшить в 2 раза;

Пусть первоначальное делимое равно $a$, а делитель равен $b$. Их частное $Q = a/b$. Новое делимое будет $(8a)$, а новый делитель — $(b/2)$. Новое частное $Q_{новое} = (8a)/(b/2) = 8a \cdot (2/b) = (8 \cdot 2) \cdot (a/b) = 16 \cdot Q$.

Ответ: частное увеличится в 16 раз.

10) частное, если и делимое, и делитель увеличить в 5 раз.

Пусть первоначальное делимое равно $a$, а делитель равен $b$. Их частное $Q = a/b$. Новое делимое будет $(5a)$, а новый делитель — $(5b)$. Новое частное $Q_{новое} = (5a)/(5b) = (5/5) \cdot (a/b) = 1 \cdot Q = Q$.

Ответ: частное не изменится.

11. Вычислить:

1) $65409 + 3728;$

2) $7654 + 28996;$

3) $50764 - 3976;$

4) $47216 - 9327;$

5) $641 \cdot 36;$

6) $782 \cdot 47;$

7) $3024 \cdot 506;$

8) $5132 \cdot 408;$

9) $7935 : 23;$

10) $21862 : 34;$

11) $11476 : 19;$

12) $12672 : 18;$

13) $12^2;$

14) $6^3;$

15) $5^4;$

16) $2^8;$

1) Чтобы найти сумму $65409 + 3728$, выполним сложение столбиком, складывая соответствующие разряды справа налево.Единицы: $9 + 8 = 17$. Записываем 7, 1 переносим в разряд десятков.Десятки: $0 + 2 + 1 = 3$. Записываем 3.Сотни: $4 + 7 = 11$. Записываем 1, 1 переносим в разряд тысяч.Тысячи: $5 + 3 + 1 = 9$. Записываем 9.Десятки тысяч: сносим 6.В результате получаем: $65409 + 3728 = 69137$.

Ответ: 69137

2) Чтобы найти сумму $7654 + 28996$, выполним сложение столбиком.Единицы: $4 + 6 = 10$. Записываем 0, 1 переносим в разряд десятков.Десятки: $5 + 9 + 1 = 15$. Записываем 5, 1 переносим в разряд сотен.Сотни: $6 + 9 + 1 = 16$. Записываем 6, 1 переносим в разряд тысяч.Тысячи: $7 + 8 + 1 = 16$. Записываем 6, 1 переносим в разряд десятков тысяч.Десятки тысяч: $2 + 1 = 3$. Записываем 3.В результате получаем: $7654 + 28996 = 36650$.

Ответ: 36650

3) Чтобы найти разность $50764 - 3976$, выполним вычитание столбиком.Единицы: из 4 вычесть 6 нельзя, занимаем 1 десяток. $14 - 6 = 8$.Десятки: осталось 5 десятков, из 5 вычесть 7 нельзя, занимаем 1 сотню. $15 - 7 = 8$.Сотни: осталось 6 сотен, из 6 вычесть 9 нельзя, занимаем 1 тысячу. $16 - 9 = 7$.Тысячи: в разряде тысяч был 0, после займа из десятков тысяч стало 9. $9 - 3 = 6$.Десятки тысяч: осталось 4. Сносим 4.В результате получаем: $50764 - 3976 = 46788$.

Ответ: 46788

4) Чтобы найти разность $47216 - 9327$, выполним вычитание столбиком.Единицы: из 6 вычесть 7 нельзя, занимаем 1 десяток. $16 - 7 = 9$.Десятки: остался 0 десятков, из 0 вычесть 2 нельзя, занимаем 1 сотню. $10 - 2 = 8$.Сотни: осталась 1 сотня, из 1 вычесть 3 нельзя, занимаем 1 тысячу. $11 - 3 = 8$.Тысячи: осталось 6 тысяч, из 6 вычесть 9 нельзя, занимаем 1 десяток тысяч. $16 - 9 = 7$.Десятки тысяч: осталось 3. Сносим 3.В результате получаем: $47216 - 9327 = 37889$.

Ответ: 37889

5) Чтобы найти произведение $641 \cdot 36$, умножим 641 на каждый разряд числа 36 (6 и 30) и сложим результаты.$641 \cdot 6 = 3846$.$641 \cdot 30 = 19230$.$3846 + 19230 = 23076$.

Ответ: 23076

6) Чтобы найти произведение $782 \cdot 47$, умножим 782 на 7 и на 40, а затем сложим полученные произведения.$782 \cdot 7 = 5474$.$782 \cdot 40 = 31280$.$5474 + 31280 = 36754$.

Ответ: 36754

7) Чтобы найти произведение $3024 \cdot 506$, умножим 3024 на 6 и на 500, после чего сложим результаты.$3024 \cdot 6 = 18144$.$3024 \cdot 500 = 1512000$.$18144 + 1512000 = 1530144$.

Ответ: 1530144

8) Чтобы найти произведение $5132 \cdot 408$, умножим 5132 на 8 и на 400, затем сложим результаты.$5132 \cdot 8 = 41056$.$5132 \cdot 400 = 2052800$.$41056 + 2052800 = 2093856$.

Ответ: 2093856

9) Выполним деление $7935 : 23$ в столбик.Первое неполное делимое — 79. $79 \div 23 = 3$ (остаток $79 - 3 \cdot 23 = 10$).Сносим 3, получаем 103. $103 \div 23 = 4$ (остаток $103 - 4 \cdot 23 = 11$).Сносим 5, получаем 115. $115 \div 23 = 5$ (остаток $115 - 5 \cdot 23 = 0$).Результат деления: 345.

Ответ: 345

10) Выполним деление $21862 : 34$ в столбик.Первое неполное делимое — 218. $218 \div 34 = 6$ (остаток $218 - 6 \cdot 34 = 14$).Сносим 6, получаем 146. $146 \div 34 = 4$ (остаток $146 - 4 \cdot 34 = 10$).Сносим 2, получаем 102. $102 \div 34 = 3$ (остаток $102 - 3 \cdot 34 = 0$).Результат деления: 643.

Ответ: 643

11) Выполним деление $11476 : 19$ в столбик.Первое неполное делимое — 114. $114 \div 19 = 6$ (остаток $114 - 6 \cdot 19 = 0$).Сносим 7. $7 < 19$, поэтому в частное пишем 0.Сносим 6, получаем 76. $76 \div 19 = 4$ (остаток $76 - 4 \cdot 19 = 0$).Результат деления: 604.

Ответ: 604

12) Выполним деление $12672 : 18$ в столбик.Первое неполное делимое — 126. $126 \div 18 = 7$ (остаток $126 - 7 \cdot 18 = 0$).Сносим 7. $7 < 18$, поэтому в частное пишем 0.Сносим 2, получаем 72. $72 \div 18 = 4$ (остаток $72 - 4 \cdot 18 = 0$).Результат деления: 704.

Ответ: 704

13) Возведение в квадрат ($12^2$) — это умножение числа на само себя.$12^2 = 12 \cdot 12 = 144$.

Ответ: 144

14) Возведение в куб ($6^3$) — это умножение числа на само себя три раза.$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.

Ответ: 216

15) Возведение в четвертую степень ($5^4$) — это умножение числа на само себя четыре раза.$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625$.

Ответ: 625

16) Возведение в восьмую степень ($2^8$) — это умножение числа 2 на себя восемь раз.$2^8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = (2^4)^2 = 16^2 = 256$.

Ответ: 256

12. Найти неизвестное число, обозначенное буквой x:

1) $5642 + x = 7321;$

2) $27306 - x = 23924;$

3) $x - 58049 = 1968;$

4) $x \cdot 321 = 13803;$

5) $10658 : x = 146;$

6) $x : 243 = 20412;$

7) $708 + (x - 326) = 1451;$

8) $5382 - (4304 - x) = 2953;$

9) $29 \cdot x - 965 = 4951;$

10) $x : 52 + 849 = 1030.$

1) Дано уравнение $5642 + x = 7321$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 7321 - 5642$
$x = 1679$
Ответ: 1679

2) Дано уравнение $27306 - x = 23924$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 27306 - 23924$
$x = 3382$
Ответ: 3382

3) Дано уравнение $x - 58049 = 1968$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = 1968 + 58049$
$x = 60017$
Ответ: 60017

4) Дано уравнение $x \cdot 321 = 13803$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
$x = 13803 : 321$
$x = 43$
Ответ: 43

5) Дано уравнение $10658 : x = 146$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
$x = 10658 : 146$
$x = 73$
Ответ: 73

6) Дано уравнение $x : 243 = 20412$.
В этом уравнении $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
$x = 20412 \cdot 243$
$x = 4960116$
Ответ: 4960116

7) Дано уравнение $708 + (x - 326) = 1451$.
Сначала найдем значение выражения в скобках, которое является неизвестным слагаемым. Для этого из суммы вычтем известное слагаемое.
$x - 326 = 1451 - 708$
$x - 326 = 743$
Теперь у нас простое уравнение, где $x$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, к разности прибавим вычитаемое.
$x = 743 + 326$
$x = 1069$
Ответ: 1069

8) Дано уравнение $5382 - (4304 - x) = 2953$.
Сначала найдем значение выражения в скобках, которое является неизвестным вычитаемым. Для этого из уменьшаемого вычтем разность.
$4304 - x = 5382 - 2953$
$4304 - x = 2429$
Теперь у нас простое уравнение, где $x$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы его найти, из уменьшаемого вычтем разность.
$x = 4304 - 2429$
$x = 1875$
Ответ: 1875

9) Дано уравнение $29 \cdot x - 965 = 4951$.
Сначала найдем значение произведения $29 \cdot x$, которое является неизвестным уменьшаемым. Для этого к разности прибавим вычитаемое.
$29 \cdot x = 4951 + 965$
$29 \cdot x = 5916$
Теперь у нас простое уравнение, где $x$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, произведение разделим на известный множитель.
$x = 5916 : 29$
$x = 204$
Ответ: 204

10) Дано уравнение $x : 52 + 849 = 1030$.
Сначала найдем значение частного $x : 52$, которое является неизвестным слагаемым. Для этого из суммы вычтем известное слагаемое.
$x : 52 = 1030 - 849$
$x : 52 = 181$
Теперь у нас простое уравнение, где $x$ — неизвестное делимое. Чтобы его найти, частное умножим на делитель.
$x = 181 \cdot 52$
$x = 9412$
Ответ: 9412

13. Найти неизвестное делимое, если:

1) делитель равен 106, неполное частное равно 57, а остаток — 77;

2) делитель равен 93, неполное частное — 204, а остаток — 86.

Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо воспользоваться формулой деления с остатком: делимое равно произведению делителя и неполного частного, сложенному с остатком. Формула выглядит следующим образом: $a = b \cdot q + r$, где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, а $r$ – остаток.

1)

Дано: делитель $b = 106$, неполное частное $q = 57$, остаток $r = 77$.
Найдём делимое $a$, подставив значения в формулу:
$a = 106 \cdot 57 + 77$
Сначала выполним умножение:
$106 \cdot 57 = 6042$
Затем к результату прибавим остаток:
$6042 + 77 = 6119$
Таким образом, неизвестное делимое равно 6119.
Ответ: 6119.

2)

Дано: делитель $b = 93$, неполное частное $q = 204$, остаток $r = 86$.
Найдём делимое $a$ по той же формуле:
$a = 93 \cdot 204 + 86$
Сначала выполним умножение:
$93 \cdot 204 = 18972$
Теперь прибавим остаток:
$18972 + 86 = 19058$
Таким образом, неизвестное делимое равно 19058.
Ответ: 19058.