Номер 47, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

47. Найти наименьшее общее кратное чисел:

1) 12 и 36;

2) 60 и 12;

3) 20 и 50;

4) 100 и 40;

5) 42 и 28;

6) 54 и 24;

7) 4, 6 и 8;

8) 8, 10 и 12.

1) 12 и 36;
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) для чисел, одним из способов является разложение их на простые множители.
Разложим числа 12 и 36:
$12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$
$36 = 6 \times 6 = 2 \times 3 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^2$
Теперь выпишем все простые множители, которые входят хотя бы в одно из разложений, и возьмем каждый из них в наибольшей степени, в которой он встречается.
Множитель 2 встречается в степени 2. Множитель 3 встречается в степени 2.
НОК(12, 36) = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
Также можно заметить, что 36 делится на 12. Если одно число делится на другое, их НОК равно большему из этих чисел.
Ответ: 36

2) 60 и 12;
Число 60 делится на 12 без остатка ($60 \div 12 = 5$). В этом случае наименьшее общее кратное равно большему числу.
НОК(60, 12) = 60.
Проверим через разложение на множители:
$60 = 6 \times 10 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
$12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$
Берем множители в наибольших степенях: $2^2$, $3^1$, $5^1$.
НОК(60, 12) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
Ответ: 60

3) 20 и 50;
Разложим числа 20 и 50 на простые множители:
$20 = 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$
$50 = 5 \times 10 = 5 \times 2 \times 5 = 2 \times 5^2$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^2$ и $5^2$.
НОК(20, 50) = $2^2 \times 5^2 = 4 \times 25 = 100$.
Ответ: 100

4) 100 и 40;
Разложим числа 100 и 40 на простые множители:
$100 = 10 \times 10 = 2 \times 5 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5^2$
$40 = 4 \times 10 = 2^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^3$ и $5^2$.
НОК(100, 40) = $2^3 \times 5^2 = 8 \times 25 = 200$.
Ответ: 200

5) 42 и 28;
Разложим числа 42 и 28 на простые множители:
$42 = 6 \times 7 = 2 \times 3 \times 7$
$28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^2$, $3^1$ и $7^1$.
НОК(42, 28) = $2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 21 = 84$.
Ответ: 84

6) 54 и 24;
Разложим числа 54 и 24 на простые множители:
$54 = 6 \times 9 = 2 \times 3 \times 3^2 = 2 \times 3^3$
$24 = 4 \times 6 = 2^2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя: $2^3$ и $3^3$.
НОК(54, 24) = $2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216$.
Ответ: 216

7) 4, 6 и 8;
Разложим числа 4, 6 и 8 на простые множители:
$4 = 2^2$
$6 = 2 \times 3$
$8 = 2^3$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя из всех разложений: $2^3$ и $3^1$.
НОК(4, 6, 8) = $2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$.
Ответ: 24

8) 8, 10 и 12.
Разложим числа 8, 10 и 12 на простые множители:
$8 = 2^3$
$10 = 2 \times 5$
$12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$
Выбираем наибольшие степени каждого простого множителя из всех разложений: $2^3$, $3^1$ и $5^1$.
НОК(8, 10, 12) = $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.
Ответ: 120