Номер 43, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

43. Указать пары взаимно простых чисел:

1) 101 и 102;

2) 31 и 46;

3) 45 и 99;

4) 54 и 35.

Взаимно простые числа — это целые числа, которые не имеют общих делителей, кроме 1. Другими словами, их наибольший общий делитель (НОД) должен быть равен 1. Проанализируем каждую из предложенных пар.

1) 101 и 102

Эти два числа являются последовательными. Два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты. Это можно доказать так: пусть $d$ — их общий делитель. Тогда $d$ делит 101 и $d$ делит 102. Следовательно, $d$ должен делить и их разность: $102 - 101 = 1$. Единственным натуральным числом, которое делит 1, является само число 1. Таким образом, $НОД(101, 102) = 1$.
Также можно разложить числа на простые множители:
Число 101 — простое.
$102 = 2 \cdot 51 = 2 \cdot 3 \cdot 17$.
У чисел 101 и 102 нет общих простых множителей, значит, они взаимно простые.
Ответ: являются взаимно простыми.

2) 31 и 46

Для проверки разложим оба числа на простые множители.
Число 31 — простое.
$46 = 2 \cdot 23$.
У чисел 31 и 46 нет общих простых множителей. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1, $НОД(31, 46) = 1$.
Ответ: являются взаимно простыми.

3) 45 и 99

Проверим числа на наличие общих делителей. Оба числа делятся на 3 (сумма цифр 45 равна $4+5=9$, сумма цифр 99 равна $9+9=18$, обе суммы делятся на 3). Также оба числа делятся на 9.
Разложим на простые множители:
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
$99 = 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$.
У чисел есть общий делитель 9. $НОД(45, 99) = 9$. Так как НОД не равен 1, эти числа не являются взаимно простыми.
Ответ: не являются взаимно простыми.

4) 54 и 35

Разложим числа на простые множители.
$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$.
$35 = 5 \cdot 7$.
У чисел 54 и 35 нет общих простых множителей. Это означает, что их наибольший общий делитель равен 1, $НОД(54, 35) = 1$.
Ответ: являются взаимно простыми.

Таким образом, пары взаимно простых чисел находятся в пунктах 1, 2 и 4.