Номер 44, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Делимость чисел. Глава 1. Рациональные числа - номер 44, страница 18.

Условие.

44. Найти наибольший общий делитель чисел:

1) 270 и 360;

2) 420 и 504;

3) 540 и 612;

4) 456 и 552.

Решение 1.

Решение 5.

1) 270 и 360
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, разложим их на простые множители.
Разложим число 270:
$270 = 27 \cdot 10 = 3^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$
Разложим число 360:
$360 = 36 \cdot 10 = 6^2 \cdot 2 \cdot 5 = (2 \cdot 3)^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$
Теперь выберем общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в оба разложения, и перемножим их.
Общие множители: 2, 3, 5.
Наименьшая степень для множителя 2 - это $2^1$.
Наименьшая степень для множителя 3 - это $3^2$.
Наименьшая степень для множителя 5 - это $5^1$.
$НОД(270, 360) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.
Ответ: 90

2) 420 и 504
Разложим числа 420 и 504 на простые множители.
Разложим число 420:
$420 = 42 \cdot 10 = 6 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
Разложим число 504:
$504 = 2 \cdot 252 = 2^2 \cdot 126 = 2^3 \cdot 63 = 2^3 \cdot 9 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$
Выберем общие простые множители в наименьшей степени и перемножим их.
Общие множители: 2, 3, 7.
Наименьшая степень для множителя 2 - это $2^2$.
Наименьшая степень для множителя 3 - это $3^1$.
Наименьшая степень для множителя 7 - это $7^1$.
$НОД(420, 504) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$.
Ответ: 84

3) 540 и 612
Разложим числа 540 и 612 на простые множители.
Разложим число 540:
$540 = 54 \cdot 10 = 2 \cdot 27 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$
Разложим число 612:
$612 = 2 \cdot 306 = 2^2 \cdot 153 = 2^2 \cdot 3 \cdot 51 = 2^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 17$
Выберем общие простые множители в наименьшей степени и перемножим их.
Общие множители: 2, 3.
Наименьшая степень для множителя 2 - это $2^2$.
Наименьшая степень для множителя 3 - это $3^2$.
$НОД(540, 612) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

4) 456 и 552
Разложим числа 456 и 552 на простые множители.
Разложим число 456:
$456 = 2 \cdot 228 = 2^2 \cdot 114 = 2^3 \cdot 57 = 2^3 \cdot 3 \cdot 19$
Разложим число 552:
$552 = 2 \cdot 276 = 2^2 \cdot 138 = 2^3 \cdot 69 = 2^3 \cdot 3 \cdot 23$
Выберем общие простые множители в наименьшей степени и перемножим их.
Общие множители: 2, 3.
Наименьшая степень для множителя 2 - это $2^3$.
Наименьшая степень для множителя 3 - это $3^1$.
$НОД(456, 552) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.
Ответ: 24