Номер 49, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

49. Придумать число, кратное 4, которое:

1) при делении на 3 давало бы в остатке 1;

2) при делении на 5 давало бы остаток 2.

Задача состоит в том, чтобы найти число x, которое одновременно удовлетворяет трем условиям: оно кратно 4, при делении на 3 дает в остатке 1, и при делении на 5 дает в остатке 2.

Запишем эти условия в виде системы математических сравнений:
$x \equiv 0 \pmod{4}$
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{5}$

Для решения задачи будем последовательно проверять числа, начиная с основного условия — кратности 4. Выпишем несколько таких чисел в порядке возрастания: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ...

Теперь из этого списка выберем те числа, которые удовлетворяют условию 1) при делении на 3 давало бы в остатке 1. Для этого проверим остаток от деления каждого числа на 3:
- Число 4: $4 = 3 \cdot 1 + 1$. Остаток 1. Подходит.
- Число 8: $8 = 3 \cdot 2 + 2$. Остаток 2. Не подходит.
- Число 12: $12 = 3 \cdot 4 + 0$. Остаток 0. Не подходит.
- Число 16: $16 = 3 \cdot 5 + 1$. Остаток 1. Подходит.
- Число 20: $20 = 3 \cdot 6 + 2$. Остаток 2. Не подходит.
- Число 24: $24 = 3 \cdot 8 + 0$. Остаток 0. Не подходит.
- Число 28: $28 = 3 \cdot 9 + 1$. Остаток 1. Подходит.
- ...и так далее.

Таким образом, у нас остался новый, более короткий список чисел-кандидатов. Все они кратны 4 и при делении на 3 дают в остатке 1: 4, 16, 28, 40, 52, 64, ...

Наконец, проверим числа из этого нового списка на соответствие последнему условию 2) при делении на 5 давало бы остаток 2.
- Число 4: при делении на 5 дает остаток 4. Не подходит.
- Число 16: $16 = 5 \cdot 3 + 1$. Остаток 1. Не подходит.
- Число 28: $28 = 5 \cdot 5 + 3$. Остаток 3. Не подходит.
- Число 40: $40 = 5 \cdot 8 + 0$. Остаток 0. Не подходит.
- Число 52: $52 = 5 \cdot 10 + 2$. Остаток 2. Подходит!

Мы нашли первое число, которое удовлетворяет всем трем заданным условиям. Проведем финальную проверку для числа 52:
1. Является ли кратным 4? Да, $52 = 4 \times 13$.
2. Дает ли остаток 1 при делении на 3? Да, $52 = 3 \times 17 + 1$.
3. Дает ли остаток 2 при делении на 5? Да, $52 = 5 \times 10 + 2$.

Все условия выполнены.

Ответ: 52