Номер 48, страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Делимость чисел. Глава 1. Рациональные числа - номер 48, страница 18.

Условие.

48. Сконструировать признак делимости чисел на:

1) 15;

2) 21;

3) 14;

4) 22.

Решение 1.

Решение 5.

Общий принцип для конструирования признака делимости на составное число $N$ заключается в следующем: если число $N$ можно разложить на взаимно простые множители $a$ и $b$ (то есть их наибольший общий делитель $НОД(a, b) = 1$), то некоторое число делится на $N$ тогда и только тогда, когда оно делится и на $a$, и на $b$.

1) 15;

Разложим число 15 на взаимно простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Числа 3 и 5 являются взаимно простыми, так как $НОД(3, 5) = 1$. Следовательно, для того чтобы число делилось на 15, оно должно делиться одновременно и на 3, и на 5.

Используем известные признаки делимости:
- Признак делимости на 3: сумма цифр числа делится на 3.
- Признак делимости на 5: число оканчивается на 0 или 5.

Объединяя эти два условия, получаем искомый признак.
Ответ: Число делится на 15, если сумма его цифр делится на 3 и его последняя цифра — 0 или 5.

2) 21;

Разложим число 21 на взаимно простые множители: $21 = 3 \cdot 7$. Числа 3 и 7 являются взаимно простыми ($НОД(3, 7) = 1$). Значит, число делится на 21, если оно делится одновременно на 3 и на 7.

Используем известные признаки делимости:
- Признак делимости на 3: сумма цифр числа делится на 3.
- Признак делимости на 7: число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа, образованного остальными цифрами, делится на 7 (например, для числа 343 проверка выглядит так: $34 - 2 \cdot 3 = 28$; так как 28 делится на 7, то и 343 делится на 7).

Объединив эти два правила, получаем признак делимости на 21.
Ответ: Число делится на 21, если оно одновременно делится на 3 (сумма его цифр делится на 3) и на 7.

3) 14;

Разложим число 14 на взаимно простые множители: $14 = 2 \cdot 7$. Числа 2 и 7 являются взаимно простыми ($НОД(2, 7) = 1$). Следовательно, число делится на 14, если оно делится одновременно на 2 и на 7.

Используем известные признаки делимости:
- Признак делимости на 2: число является четным, то есть оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
- Признак делимости на 7: описан в предыдущем пункте.

Таким образом, получаем искомый признак.
Ответ: Число делится на 14, если оно четное и при этом делится на 7.

4) 22;

Разложим число 22 на взаимно простые множители: $22 = 2 \cdot 11$. Числа 2 и 11 являются взаимно простыми ($НОД(2, 11) = 1$). Это означает, что число делится на 22, если оно делится одновременно на 2 и на 11.

Используем известные признаки делимости:
- Признак делимости на 2: число является четным.
- Признак делимости на 11: знакопеременная сумма цифр числа делится на 11. Для числа, записанного цифрами $d_k d_{k-1} ... d_1 d_0$, это означает, что сумма $d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots$ делится на 11 (например, для числа 13574: $4-7+5-3+1=0$; так как 0 делится на 11, то и 13574 делится на 11).

Объединяя два признака, получаем искомый.
Ответ: Число делится на 22, если оно четное и его знакопеременная сумма цифр делится на 11.