Номер 177, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

177. Чтобы успеть к отходу поезда, группа туристов должна пройти 22 км до станции за 6,5 ч. Туристы решили двигаться в следующем режиме: сначала идти со скоростью 4 км/ч, делая через каждые 1,5 ч пятнадцатиминутный привал, а по прошествии 5,25 ч снизить скорость до 3 км/ч и идти без привалов. Успеют ли они прибыть на станцию до отхода поезда?

Чтобы ответить на вопрос, успеют ли туристы на поезд, нужно рассчитать общее время, которое они затратят на весь путь, и сравнить его с имеющимся у них временем — 6,5 часов.

1. Анализ первого этапа пути.

Первый этап длится 5,25 часа. В течение этого времени туристы идут со скоростью 4 км/ч, но делают привалы по 15 минут ($0,25$ часа) после каждых 1,5 часов ходьбы. Таким образом, один полный цикл «ходьба + привал» занимает:

$1,5 \text{ ч} + 0,25 \text{ ч} = 1,75 \text{ ч}$

Определим, сколько таких полных циклов укладывается в 5,25 часа:

$5,25 \text{ ч} \div 1,75 \text{ ч/цикл} = 3 \text{ цикла}$

Это значит, что за первые 5,25 часа общее время движения составило:

$3 \times 1,5 \text{ ч} = 4,5 \text{ ч}$

За это время они прошли расстояние:

$S_1 = 4 \text{ км/ч} \times 4,5 \text{ ч} = 18 \text{ км}$

2. Анализ второго этапа пути и расчет общего времени.

Весь путь до станции — 22 км. После первого этапа туристам осталось пройти:

$S_2 = 22 \text{ км} - 18 \text{ км} = 4 \text{ км}$

На втором этапе они идут со скоростью 3 км/ч без привалов. Время, которое они потратят на оставшийся путь:

$t_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{4 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = \frac{4}{3} \text{ ч}$

Теперь рассчитаем общее время в пути, сложив время первого и второго этапов:

$T_{общ} = 5,25 \text{ ч} + t_2 = 5,25 \text{ ч} + \frac{4}{3} \text{ ч}$

Переведем десятичную дробь в обыкновенную для удобства вычислений: $5,25 = 5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}$.

$T_{общ} = \frac{21}{4} + \frac{4}{3} = \frac{21 \times 3}{12} + \frac{4 \times 4}{12} = \frac{63 + 16}{12} = \frac{79}{12} \text{ ч}$

3. Сравнение и вывод.

Туристам нужно успеть за 6,5 часов. Переведем это время в обыкновенную дробь:

$6,5 \text{ ч} = 6\frac{1}{2} \text{ ч} = \frac{13}{2} \text{ ч} = \frac{78}{12} \text{ ч}$

Теперь сравним расчетное время с доступным:

$\frac{79}{12} \text{ ч} > \frac{78}{12} \text{ ч}$

Расчетное время в пути больше, чем время до отхода поезда. Туристы опоздают на:

$\frac{79}{12} - \frac{78}{12} = \frac{1}{12} \text{ ч} = \frac{1}{12} \times 60 \text{ мин} = 5 \text{ минут}$

Ответ: Нет, туристы не успеют прибыть на станцию до отхода поезда.