Страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

197. Школьники сажали деревья. Первая группа посадила $a$ деревьев, вторая — $80\%$ того, что посадила первая, а третья — на $5$ деревьев больше второй. Сколько деревьев посадили школьники?

Для того чтобы найти, сколько всего деревьев посадили школьники, необходимо выразить количество деревьев, посаженных каждой группой, через переменную $a$, а затем сложить эти значения.

1. Выразим количество деревьев, посаженных второй группой.
Вторая группа посадила 80% от того, что посадила первая. Первая группа посадила $a$ деревьев. Чтобы найти 80% от числа $a$, необходимо это число умножить на десятичную дробь, соответствующую 80%.
$80\% = \frac{80}{100} = 0.8$
Количество деревьев, посаженных второй группой, равно $0.8 \times a = 0.8a$.

2. Выразим количество деревьев, посаженных третьей группой.
Третья группа посадила на 5 деревьев больше, чем вторая. Значит, к количеству деревьев, посаженных второй группой, нужно прибавить 5.
Количество деревьев, посаженных третьей группой, равно $0.8a + 5$.

3. Найдем общее количество деревьев.
Чтобы найти, сколько всего деревьев посадили школьники, нужно сложить количество деревьев, посаженных каждой из трех групп.
Общее количество = (деревья 1-й группы) + (деревья 2-й группы) + (деревья 3-й группы)
Общее количество = $a + 0.8a + (0.8a + 5)$
Теперь упростим полученное выражение. Сложим подобные слагаемые:
$a + 0.8a + 0.8a + 5 = (1 + 0.8 + 0.8)a + 5 = 2.6a + 5$
Таким образом, всего школьники посадили $2.6a + 5$ деревьев.

Ответ: $2.6a + 5$

198. Турист вышел из пункта А и прошёл 7 км за $1 \frac{3}{4}$ ч, затем сделал привал на 15 мин, после чего прошёл оставшиеся 10,5 км за 3 ч. На каком расстоянии от пункта А находился турист через $a$ часов после начала движения, где $2 < a < 5$?

Для решения задачи необходимо определить, на каком этапе своего путешествия находился турист в указанный промежуток времени, и составить формулу для расчета расстояния.

1. Анализ этапов движения и их временных рамок

Разделим весь путь туриста на три последовательных этапа и определим, в какой момент времени (от начала движения) каждый из них происходил. Для удобства все временные значения переведем в часы.

Первый этап (ходьба):
Турист прошел расстояние $S_1 = 7$ км за время $t_1 = 1\frac{3}{4}$ ч = $1,75$ ч.
Этот этап длился с момента времени $t=0$ до $t=1,75$ ч.

Второй этап (привал):
Привал длился $t_2 = 15$ мин. Переведем минуты в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0,25$ ч.
Этот этап начался сразу после первого, то есть в $1,75$ ч, и закончился в $1,75 + 0,25 = 2$ ч.
Во время привала турист оставался на расстоянии 7 км от пункта А.

Третий этап (ходьба):
Турист прошел расстояние $S_3 = 10,5$ км за время $t_3 = 3$ ч.
Этот этап начался после привала, в момент времени $t=2$ ч, и закончился в $2 + 3 = 5$ ч.

2. Расчет расстояния в момент времени a

По условию задачи, нам нужно найти расстояние от пункта А в момент времени $a$, где $2 < a < 5$.
Сравнивая это условие с нашими временными рамками, мы видим, что момент времени $a$ находится в пределах третьего этапа движения (который длится с 2 до 5 часов).

Расстояние от пункта А в любой момент времени $a$ на этом этапе складывается из двух частей:
1. Расстояние, пройденное на первом этапе ($S_1 = 7$ км).
2. Расстояние, пройденное на третьем этапе за время от его начала (t=2 ч) до момента $a$.

Сначала найдем скорость туриста на третьем этапе:

$v_3 = \frac{S_3}{t_3} = \frac{10,5 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 3,5$ км/ч.

Время, которое турист двигался на третьем этапе до момента $a$, составляет $(a - 2)$ ч.

Расстояние, которое он прошел за это время на третьем этапе, равно:

$S_{3,a} = v_3 \cdot (a - 2) = 3,5(a - 2)$ км.

Теперь найдем общее расстояние $S(a)$ от пункта А, сложив расстояние первого этапа и пройденную часть третьего:

$S(a) = S_1 + S_{3,a} = 7 + 3,5(a - 2)$ км.

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки:

$S(a) = 7 + 3,5a - 3,5 \cdot 2 = 7 + 3,5a - 7 = 3,5a$ км.

Ответ: Через $a$ часов после начала движения, где $2 < a < 5$, турист находился на расстоянии $3,5a$ км от пункта А.