Номер 1, страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать три основных закона сложения и умножения.

Существуют три основных закона, которые определяют свойства операций сложения и умножения для чисел. Эти законы являются фундаментом арифметики и алгебры.

1. Переместительный (коммутативный) закон

Этот закон утверждает, что результат операции не зависит от порядка операндов.

Для сложения: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Это означает, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство:
$a + b = b + a$.
Например: $5 + 3 = 8$ и $3 + 5 = 8$.

Для умножения: от перестановки мест множителей произведение не меняется. Это означает, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство:
$a \cdot b = b \cdot a$.
Например: $4 \cdot 6 = 24$ и $6 \cdot 4 = 24$.

Ответ: для сложения $a + b = b + a$; для умножения $a \cdot b = b \cdot a$.

2. Сочетательный (ассоциативный) закон

Этот закон утверждает, что при последовательном выполнении одной и той же операции с тремя и более числами порядок выполнения действий (расстановка скобок) не влияет на результат.

Для сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:
$(a + b) + c = a + (b + c)$.
Например: $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ и $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$.

Для умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Например: $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$ и $2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 = 24$.

Ответ: для сложения $(a + b) + c = a + (b + c)$; для умножения $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

3. Распределительный (дистрибутивный) закон

Этот закон связывает операции сложения и умножения. Он показывает, как раскрывать скобки, в которых находится сумма или разность.

Распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Например: $5 \cdot (3 + 2) = 5 \cdot 5 = 25$ и $5 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 15 + 10 = 25$.
Этот закон также используется для вынесения общего множителя за скобки: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.

Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.