Номер 206, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Алгебраические выражения. Параграф 11. Свойства арифметических действий. Упражнения - номер 206, страница 65.

Условие.

206. Доказать, что:

1) удвоенная сумма чисел $3a$ и $7b$ равна одной трети суммы чисел $18a$ и $42b$;

2) число, противоположное разности чисел $0,2y$ и $0,3x$, равно одной десятой разности чисел $3x$ и $2y$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Для доказательства данного утверждения необходимо перевести словесную формулировку в математическое равенство и убедиться в его истинности путем тождественных преобразований.

Левая часть утверждения: "удвоенная сумма чисел $3a$ и $7b$". Запишем это математически: $2 \cdot (3a + 7b)$

Правая часть утверждения: "одна треть суммы чисел $18a$ и $42b$". Запишем это математически: $\frac{1}{3} \cdot (18a + 42b)$

Теперь нам нужно доказать, что $2 \cdot (3a + 7b) = \frac{1}{3} \cdot (18a + 42b)$.

Преобразуем левую часть равенства, применив распределительный закон умножения (раскрыв скобки): $2 \cdot (3a + 7b) = 2 \cdot 3a + 2 \cdot 7b = 6a + 14b$

Преобразуем правую часть равенства, также применив распределительный закон: $\frac{1}{3} \cdot (18a + 42b) = \frac{1}{3} \cdot 18a + \frac{1}{3} \cdot 42b = \frac{18a}{3} + \frac{42b}{3} = 6a + 14b$

В результате преобразований мы получили, что обе части исходного утверждения равны одному и тому же выражению $6a + 14b$.

$6a + 14b = 6a + 14b$

Это означает, что исходное равенство является тождеством, и утверждение доказано.

Ответ: Левая часть $2(3a+7b)$ равна $6a+14b$. Правая часть $\frac{1}{3}(18a+42b)$ также равна $6a+14b$. Так как $6a+14b = 6a+14b$, утверждение доказано.

2)

Аналогично первому пункту, запишем утверждение в виде математического равенства и докажем его.

Левая часть утверждения: "число, противоположное разности чисел $0,2y$ и $0,3x$". Разность чисел равна $(0,2y - 0,3x)$. Противоположное ей число: $-(0,2y - 0,3x)$

Правая часть утверждения: "одна десятая разности чисел $3x$ и $2y$". Запишем это математически: $\frac{1}{10} \cdot (3x - 2y)$

Нам нужно доказать, что $-(0,2y - 0,3x) = \frac{1}{10} \cdot (3x - 2y)$.

Преобразуем левую часть, раскрыв скобки. При этом знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные: $-(0,2y - 0,3x) = -0,2y + 0,3x = 0,3x - 0,2y$

Преобразуем правую часть, представив $\frac{1}{10}$ как $0,1$ и раскрыв скобки: $\frac{1}{10} \cdot (3x - 2y) = 0,1 \cdot (3x - 2y) = 0,1 \cdot 3x - 0,1 \cdot 2y = 0,3x - 0,2y$

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части исходного утверждения равны одному и тому же выражению $0,3x - 0,2y$.

$0,3x - 0,2y = 0,3x - 0,2y$

Следовательно, равенство является тождеством, и утверждение доказано.

Ответ: Левая часть $-(0,2y - 0,3x)$ равна $0,3x - 0,2y$. Правая часть $\frac{1}{10}(3x - 2y)$ также равна $0,3x - 0,2y$. Так как $0,3x - 0,2y = 0,3x - 0,2y$, утверждение доказано.