Номер 219, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 12. Правила раскрытия скобок. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 219, страница 71.

Условие.

219. В трёхзначном числе $a$ сотен, $b$ десятков, $c$ единиц и $a > c$.

1) Составить и упростить сумму данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке.

2) Составить разность данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. Доказать, что полученная разность делится на 9 и на 11.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Составить и упростить сумму данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но взятыми в обратном порядке.

Пусть данное трёхзначное число состоит из $a$ сотен, $b$ десятков и $c$ единиц. В алгебраической форме это число можно записать как $100a + 10b + c$. По условию, $a, b, c$ — это цифры, причём $a \neq 0$ и $a > c$.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет состоять из $c$ сотен, $b$ десятков и $a$ единиц. Его алгебраическая форма: $100c + 10b + a$.

Составим сумму этих двух чисел:
Сумма $= (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a)$

Теперь упростим полученное выражение, сгруппировав подобные слагаемые:
Сумма $= (100a + a) + (10b + 10b) + (c + 100c)$
Сумма $= 101a + 20b + 101c$

Вынесем общий множитель $101$ за скобки:
Сумма $= 101(a + c) + 20b$
Ответ: $101(a + c) + 20b$.

2) Составить разность данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. Доказать, что полученная разность делится на 9 и на 11.

Составим разность исходного числа $(100a + 10b + c)$ и числа, записанного в обратном порядке $(100c + 10b + a)$.
Разность $= (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Упростим это выражение, раскрыв скобки и сгруппировав подобные слагаемые:
Разность $= 100a + 10b + c - 100c - 10b - a$
Разность $= (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$
Разность $= 99a - 99c$

Вынесем общий множитель $99$ за скобки:
Разность $= 99(a - c)$

Теперь необходимо доказать, что полученная разность $99(a - c)$ делится на 9 и на 11.
Доказательство делимости на 9:
Поскольку число $99$ делится на 9 ($99 = 9 \cdot 11$), то и произведение $99(a - c)$ также делится на 9.
$99(a - c) = 9 \cdot 11(a - c)$. Так как выражение имеет множитель 9, оно кратно 9.

Доказательство делимости на 11:
Поскольку число $99$ делится на 11 ($99 = 11 \cdot 9$), то и произведение $99(a - c)$ также делится на 11.
$99(a - c) = 11 \cdot 9(a - c)$. Так как выражение имеет множитель 11, оно кратно 11.

Поскольку по условию $a$ и $c$ — это цифры и $a > c$, то разность $(a-c)$ является целым положительным числом. Следовательно, $99(a-c)$ всегда является целым числом, которое делится и на 9, и на 11.
Ответ: Разность равна $99(a - c)$. Эта разность делится на 9, так как $99(a-c) = 9 \cdot 11(a-c)$, и делится на 11, так как $99(a-c) = 11 \cdot 9(a-c)$.