Номер 217, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

217. Доказать, что:

1) разность чисел $8m - n$ и $5m - 4n$ делится на 3, если $m$ и $n$ — натуральные числа;

2) сумма числа $5m - 3n$ и числа, противоположного числу $m - 7n$, делится на 4, если $m$ и $n$ — натуральные числа;

3) при любых значениях $a$ значение выражения $2(3a - 5) - (7 - (5 - 6a))$ отрицательно;

4) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом.

1) разность чисел 8m−n и 5m−4n делится на 3, если m и n — натуральные числа;
Чтобы доказать это утверждение, составим разность данных выражений и упростим ее. Разность чисел $8m−n$ и $5m−4n$ равна:
$(8m - n) - (5m - 4n)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$8m - n - 5m + 4n = (8m - 5m) + (-n + 4n) = 3m + 3n$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(m + n)$
Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, их сумма $(m+n)$ также является натуральным числом. Произведение числа 3 на любое натуральное число $(m+n)$ всегда делится на 3 без остатка. Следовательно, разность исходных чисел делится на 3.
Ответ: утверждение доказано.

2) сумма числа 5m−3n и числа, противоположного числу m−7n, делится на 4, если m и n — натуральные числа;
Число, противоположное числу $(m-7n)$, равно $-(m-7n)$.
Найдем сумму числа $(5m-3n)$ и числа $-(m-7n)$:
$(5m - 3n) + (-(m - 7n)) = 5m - 3n - m + 7n$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5m - m) + (-3n + 7n) = 4m + 4n$
Вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4(m + n)$
Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, их сумма $(m+n)$ также является натуральным числом. Произведение числа 4 на любое натуральное число $(m+n)$ всегда делится на 4 без остатка. Следовательно, полученная сумма делится на 4.
Ответ: утверждение доказано.

3) при любых значениях a значение выражения 2(3a−5)−(7−(5−6a)) отрицательно;
Упростим данное выражение, последовательно раскрывая скобки, начиная с самых внутренних.
$2(3a - 5) - (7 - (5 - 6a)) = 2(3a - 5) - (7 - 5 + 6a) = 2(3a - 5) - (2 + 6a)$
Теперь раскроем оставшиеся скобки:
$6a - 10 - 2 - 6a$
Приведем подобные слагаемые:
$(6a - 6a) + (-10 - 2) = 0 - 12 = -12$
Значение выражения равно -12 независимо от значения переменной $a$. Так как -12 является отрицательным числом, то и значение выражения всегда отрицательно.
Ответ: утверждение доказано.

4) сумма любых двух нечётных чисел является чётным числом.
Любое нечётное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — целое число.
Возьмем два произвольных нечётных числа. Пусть первое число равно $2k + 1$, а второе — $2p + 1$, где $k$ и $p$ — некоторые целые числа.
Найдем их сумму:
$(2k + 1) + (2p + 1) = 2k + 1 + 2p + 1 = 2k + 2p + 2$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(k + p + 1)$
Так как $k$ и $p$ — целые числа, то выражение в скобках $(k+p+1)$ также является целым числом. Обозначим это целое число как $q$, то есть $q = k+p+1$.
Тогда сумма двух нечётных чисел равна $2q$. По определению, число, которое можно представить в виде произведения 2 на целое число, является чётным.
Ответ: утверждение доказано.