Номер 310, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

310. 1) $( -5 )^3$;

2) $-5^3$;

3) $\left( -2\frac{1}{4} \right)^2$;

4) $-\left( 2\frac{1}{4} \right)^2$.

1) Выражение $(-5)^3$ означает возведение в куб числа $-5$. Основанием степени является число $-5$, а показателем степени — $3$. Это значит, что мы должны умножить $-5$ само на себя три раза.
$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5)$.
При умножении двух отрицательных чисел получается положительное: $(-5) \cdot (-5) = 25$.
Затем умножаем результат на $-5$: $25 \cdot (-5) = -125$.
Так как показатель степени ($3$) — нечетное число, результат возведения отрицательного числа в эту степень будет отрицательным.
Ответ: $-125$.

2) В выражении $-5^3$ отсутствует скобка, поэтому операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус (отрицание). Сначала мы возводим в куб число $5$, а затем применяем знак минуса к результату.
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.
Теперь добавляем знак минус: $-5^3 = -(5^3) = -125$.
Ответ: $-125$.

3) В выражении $(-2\frac{1}{4})^2$ необходимо возвести в квадрат смешанное число $-2\frac{1}{4}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$-2\frac{1}{4} = -(\frac{2 \cdot 4 + 1}{4}) = -\frac{9}{4}$.
Теперь возводим эту дробь в квадрат. Основанием степени является число $-\frac{9}{4}$, а показателем — $2$.
$(-\frac{9}{4})^2 = (-\frac{9}{4}) \cdot (-\frac{9}{4})$.
При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2) результат будет положительным.
$(-\frac{9}{4})^2 = \frac{9^2}{4^2} = \frac{81}{16}$.
Чтобы представить результат в виде смешанного числа, разделим $81$ на $16$: $81 \div 16 = 5$ и остаток $1$.
$\frac{81}{16} = 5\frac{1}{16}$.
Ответ: $5\frac{1}{16}$.

4) В выражении $-(2\frac{1}{4})^2$ знак минуса стоит перед скобками. По порядку действий сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется унарный минус.
Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Возводим полученную дробь в квадрат:
$(\frac{9}{4})^2 = \frac{9^2}{4^2} = \frac{81}{16}$.
Теперь применяем знак минус, который стоял перед всем выражением:
$-(2\frac{1}{4})^2 = -(\frac{81}{16}) = - \frac{81}{16}$.
Переведем неправильную дробь в смешанное число:
$-\frac{81}{16} = -5\frac{1}{16}$.
Ответ: $-5\frac{1}{16}$.