Номер 311, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

311. 1) $(\frac{2}{3})^3$;

2) $(\frac{3}{5})^2$;

3) $(1\frac{2}{7})^2$;

4) $(2\frac{1}{3})^3$.

1) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Это можно записать с помощью формулы: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
Применим эту формулу к нашему выражению:
$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{8}{27}$.
Ответ: $\frac{8}{27}$.

2) Используем то же правило возведения дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
Вычисляем:
$(\frac{3}{5})^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{9}{25}$.
Ответ: $\frac{9}{25}$.

3) В данном примере нам нужно возвести в степень смешанное число. Для этого сначала преобразуем его в неправильную дробь.
$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$.
Теперь возведем полученную неправильную дробь в квадрат:
$(\frac{9}{7})^2 = \frac{9^2}{7^2} = \frac{81}{49}$.
Чтобы представить ответ в виде смешанного числа, выделим целую часть из дроби $\frac{81}{49}$:
$81 \div 49 = 1$ (остаток $81 - 49 = 32$).
Таким образом, $\frac{81}{49} = 1\frac{32}{49}$.
Ответ: $1\frac{32}{49}$.

4) Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь.
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
Теперь возведем полученную дробь в куб:
$(\frac{7}{3})^3 = \frac{7^3}{3^3} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 7}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{343}{27}$.
Преобразуем результат обратно в смешанное число, выделив целую часть:
$343 \div 27 = 12$ (остаток $343 - 27 \cdot 12 = 343 - 324 = 19$).
Следовательно, $\frac{343}{27} = 12\frac{19}{27}$.
Ответ: $12\frac{19}{27}$.