Страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Записать в виде степени с основанием a (339—340).

339. 1) 1) $(a^5)^6$;

2) $(a^8)^7$;

3) $(a^2)^5 a^8$;

4) $a^5 (a^2)^3$;

5) $a^7 a^5 (a^2)^4$;

6) $a^3 (a^3)^3 a^3$.

1) Для того чтобы возвести степень в степень, нужно перемножить их показатели. Это свойство степеней записывается формулой $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Применим это свойство к выражению $(a^5)^6$:
$(a^5)^6 = a^{5 \cdot 6} = a^{30}$.

Ответ: $a^{30}$.

2) Используем то же свойство степеней, что и в предыдущем пункте: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Применим его к выражению $(a^8)^7$:
$(a^8)^7 = a^{8 \cdot 7} = a^{56}$.

Ответ: $a^{56}$.

3) В этом выражении нам понадобятся два свойства степеней: возведение степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ и умножение степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Сначала упростим первый множитель $(a^2)^5$:
$(a^2)^5 = a^{2 \cdot 5} = a^{10}$.
Теперь умножим полученный результат на $a^8$:
$a^{10} \cdot a^8 = a^{10+8} = a^{18}$.

Ответ: $a^{18}$.

4) Решим это задание, используя те же свойства степеней, что и в пункте 3.
Сначала преобразуем выражение в скобках $(a^2)^3$:
$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.
Затем выполним умножение степеней:
$a^5 \cdot a^6 = a^{5+6} = a^{11}$.

Ответ: $a^{11}$.

5) В этом выражении три множителя. Сначала упростим множитель со скобками, используя правило возведения степени в степень: $(a^2)^4$.
$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.
Теперь перемножим все три степени, сложив их показатели, согласно правилу $x^m \cdot x^n \cdot x^k = x^{m+n+k}$:
$a^7 \cdot a^5 \cdot a^8 = a^{7+5+8} = a^{20}$.

Ответ: $a^{20}$.

6) Это выражение также содержит три множителя. Упростим средний множитель $(a^3)^3$, возведя степень в степень:
$(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$.
Теперь перемножим все три степени, сложив их показатели:
$a^3 \cdot a^9 \cdot a^3 = a^{3+9+3} = a^{15}$.

Ответ: $a^{15}$.

340. 1) $(a^7)^5 : (a^3)^4$;

2) $(a^6)^4 : (a^3)^5$;

3) $\frac{(a^3)^5 a^4}{a^{12}}$;

4) $\frac{a^8(a^4)^4}{(a^3)^4}$.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(a^7)^5 = a^{7 \cdot 5} = a^{35}$

$(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$

Теперь выражение принимает вид: $a^{35} : a^{12}$.

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m - n}$.

$a^{35} : a^{12} = a^{35 - 12} = a^{23}$

Ответ: $a^{23}$

2) Аналогично первому примеру, используем свойства степеней. Сначала возводим степень в степень.

$(a^6)^4 = a^{6 \cdot 4} = a^{24}$

$(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$

Получаем выражение: $a^{24} : a^{15}$.

Теперь выполняем деление степеней.

$a^{24} : a^{15} = a^{24 - 15} = a^9$

Ответ: $a^9$

3) В этом примере нужно упростить дробь. Сначала упростим числитель, используя правила возведения степени в степень и умножения степеней.

Упрощаем $(a^3)^5$ в числителе: $(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$.

Теперь числитель выглядит так: $a^{15} a^4$.

Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^{15} a^4 = a^{15+4} = a^{19}$.

Дробь принимает вид: $\frac{a^{19}}{a^{12}}$.

Применяем правило деления степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{a^{19}}{a^{12}} = a^{19-12} = a^7$

Ответ: $a^7$

4) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $a^8 (a^4)^4$. Сначала возводим степень в степень: $(a^4)^4 = a^{4 \cdot 4} = a^{16}$.

Теперь умножаем степени в числителе: $a^8 \cdot a^{16} = a^{8+16} = a^{24}$.

Знаменатель: $(a^3)^4$. Возводим степень в степень: $(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$.

Теперь вся дробь выглядит так: $\frac{a^{24}}{a^{12}}$.

Выполняем деление:

$\frac{a^{24}}{a^{12}} = a^{24-12} = a^{12}$

Ответ: $a^{12}$

341. Найти значение выражения:

1) $\frac{(c^2)^3c^8}{(c^3)^4}$ при $c=-3$; $\frac{2}{7}$;

2) $\frac{d^3d^5}{(d^2)^3}$ при $d=\frac{1}{4}$; $-10$.

1) Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней:

• При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{(c^2)^3 c^8}{(c^3)^4} = \frac{c^{2 \cdot 3} \cdot c^8}{c^{3 \cdot 4}} = \frac{c^6 \cdot c^8}{c^{12}} = \frac{c^{6+8}}{c^{12}} = \frac{c^{14}}{c^{12}} = c^{14-12} = c^2$

Теперь, когда выражение упрощено до $c^2$, подставим в него заданные значения переменной c.

Если $c = -3$, то значение выражения равно: $(-3)^2 = 9$

Если $c = \frac{2}{7}$, то значение выражения равно: $(\frac{2}{7})^2 = \frac{2^2}{7^2} = \frac{4}{49}$

Ответ: $9$; $\frac{4}{49}$.

2) Аналогично упростим второе выражение, используя те же свойства степеней:

$\frac{d^3 d^5}{(d^2)^3} = \frac{d^{3+5}}{d^{2 \cdot 3}} = \frac{d^8}{d^6} = d^{8-6} = d^2$

Выражение упрощается до $d^2$. Подставим в него заданные значения переменной d.

Если $d = \frac{1}{4}$, то значение выражения равно: $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$

Если $d = -10$, то значение выражения равно: $(-10)^2 = 100$

Ответ: $\frac{1}{16}$; $100$.

342. Представить $2^{20}$ в виде степени с основанием:

1) $2^2$;
2) $2^4$;
3) $2^5$;
4) $2^{10}$.

Для решения этой задачи используется свойство степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно представить число $2^{20}$ в виде $(2^k)^x$, где $2^k$ — новое основание, а $x$ — новый показатель, который нужно найти. По свойству степеней, $2^{20} = (2^k)^x = 2^{k \cdot x}$. Отсюда следует, что $20 = k \cdot x$, а значит, искомый показатель $x = 20 / k$.

1) $2^2$;

Чтобы представить $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^2$, нам нужно найти такой показатель $x$, что $(2^2)^x = 2^{20}$.
Используя свойство степени, получаем $2^{2 \cdot x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 20$
$x = \frac{20}{2} = 10$
Таким образом, $2^{20} = (2^2)^{10}$.
Ответ: $(2^2)^{10}$

2) $2^4$;

Чтобы представить $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^4$, ищем показатель $x$, для которого $(2^4)^x = 2^{20}$.
По свойству степени, это эквивалентно $2^{4 \cdot x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели:
$4x = 20$
$x = \frac{20}{4} = 5$
Следовательно, $2^{20} = (2^4)^5$.
Ответ: $(2^4)^5$

3) $2^5$;

Для представления $2^{20}$ в виде степени с основанием $2^5$, найдем такой показатель $x$, что $(2^5)^x = 2^{20}$.
Применяя свойство степени, получаем $2^{5 \cdot x} = 2^{20}$.
Отсюда следует равенство показателей:
$5x = 20$
$x = \frac{20}{5} = 4$
Значит, $2^{20} = (2^5)^4$.
Ответ: $(2^5)^4$

4) $2^{10}$.

Чтобы представить $2^{20}$ как степень с основанием $2^{10}$, найдем показатель $x$, удовлетворяющий равенству $(2^{10})^x = 2^{20}$.
Используя свойство степени, преобразуем левую часть в $2^{10 \cdot x}$.
Получаем уравнение $2^{10x} = 2^{20}$.
Приравниваем показатели:
$10x = 20$
$x = \frac{20}{10} = 2$
Таким образом, $2^{20} = (2^{10})^2$.
Ответ: $(2^{10})^2$

Записать в виде степени с показателем 2 (343—344).

343.

1) 0,01; 2) $ \frac{25}{36} $; 3) $ 1\frac{9}{16} $; 4) 0,0004.

1)

Чтобы записать число 0,01 в виде степени с показателем 2, необходимо найти такое число, квадрат которого равен 0,01. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,01 = \frac{1}{100}$. Теперь найдем число, квадрат которого равен $\frac{1}{100}$. Так как $1^2 = 1$ и $10^2 = 100$, то $\frac{1}{100} = \frac{1^2}{10^2} = (\frac{1}{10})^2$. Переведем обыкновенную дробь $\frac{1}{10}$ обратно в десятичную, получим 0,1. Следовательно, $0,01 = (0,1)^2$.

Ответ: $(0,1)^2$

2)

Чтобы записать дробь $\frac{25}{36}$ в виде степени с показателем 2, нужно найти число, квадрат которого равен данной дроби. Используем свойство степени дроби: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Нам нужно найти такие числа для числителя и знаменателя, квадраты которых равны 25 и 36 соответственно. Числитель: $25 = 5^2$. Знаменатель: $36 = 6^2$. Таким образом, $\frac{25}{36} = \frac{5^2}{6^2} = (\frac{5}{6})^2$.

Ответ: $(\frac{5}{6})^2$

3)

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{9}{16}$ в неправильную дробь. $1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$. Теперь необходимо представить дробь $\frac{25}{16}$ в виде степени с показателем 2. Найдем числа, квадраты которых равны числителю и знаменателю. Числитель: $25 = 5^2$. Знаменатель: $16 = 4^2$. Следовательно, $\frac{25}{16} = \frac{5^2}{4^2} = (\frac{5}{4})^2$.

Ответ: $(\frac{5}{4})^2$

4)

Чтобы записать число 0,0004 в виде степени с показателем 2, найдем число, которое при возведении в квадрат дает 0,0004. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,0004 = \frac{4}{10000}$. Найдем числа, квадраты которых равны числителю и знаменателю. Числитель: $4 = 2^2$. Знаменатель: $10000 = 100^2$. Таким образом, $\frac{4}{10000} = \frac{2^2}{100^2} = (\frac{2}{100})^2$. Переведем дробь $\frac{2}{100}$ в десятичную, получим 0,02. Следовательно, $0,0004 = (0,02)^2$.

Ответ: $(0,02)^2$

344. 1) $a^4$;
2) $b^6$;
3) $c^{10}$;
4) $x^{20}$.

Для решения данных заданий необходимо представить каждую степень в виде произведения двух степеней с одинаковым основанием. Мы будем использовать основное свойство степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, а основание остается неизменным. Формула этого свойства: $x^{m+n} = x^m \cdot x^n$. Таким образом, чтобы разложить степень на множители, нужно ее показатель представить в виде суммы двух чисел. Для каждого задания существует несколько возможных вариантов решения.

1) Требуется представить степень $a^4$ в виде произведения. Показатель степени равен 4. Представим число 4 в виде суммы двух натуральных чисел, например, $4 = 2 + 2$. Используя свойство степеней, получаем: $a^4 = a^{2+2} = a^2 \cdot a^2$. Также можно использовать разложение $4 = 1 + 3$, тогда $a^4 = a^{1+3} = a^1 \cdot a^3 = a \cdot a^3$.

Ответ: $a^2 \cdot a^2$ (возможны и другие варианты, например, $a \cdot a^3$).

2) Представим степень $b^6$ в виде произведения. Показатель степени равен 6. Разложим 6 на сумму двух слагаемых, например, $6 = 3 + 3$. Тогда: $b^6 = b^{3+3} = b^3 \cdot b^3$. Другой возможный вариант — разложение $6 = 2 + 4$, что дает $b^6 = b^{2+4} = b^2 \cdot b^4$.

Ответ: $b^3 \cdot b^3$ (возможны и другие варианты, например, $b^2 \cdot b^4$).

3) Представим степень $c^{10}$ в виде произведения. Показатель степени равен 10. Существует много способов разложить 10 на сумму двух слагаемых. Например, $10 = 5 + 5$. В этом случае: $c^{10} = c^{5+5} = c^5 \cdot c^5$. Ещё один пример: $10 = 2 + 8$, тогда $c^{10} = c^{2+8} = c^2 \cdot c^8$.

Ответ: $c^5 \cdot c^5$ (возможны и другие варианты, например, $c^2 \cdot c^8$).

4) Представим степень $x^{20}$ в виде произведения. Показатель степени равен 20. Возьмем, к примеру, разложение $20 = 10 + 10$. Тогда: $x^{20} = x^{10+10} = x^{10} \cdot x^{10}$. Другой вариант, используя разложение $20 = 5 + 15$, получим $x^{20} = x^{5+15} = x^5 \cdot x^{15}$.

Ответ: $x^{10} \cdot x^{10}$ (возможны и другие варианты, например, $x^5 \cdot x^{15}$).

Возвести в степень произведение (345–348).

345.

1) $(3 \cdot 5)^4$; 2) $(7 \cdot 6)^5$; 3) $(1,3 \cdot 8)^5$; 4) $(4 \cdot \frac{1}{7})^3$.

Для решения этих задач используется свойство степени произведения: чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить. В виде формулы это записывается так: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

1) Дано выражение $(3 \cdot 5)^4$.

Применим свойство степени произведения:

$(3 \cdot 5)^4 = 3^4 \cdot 5^4$.

Теперь вычислим значение каждого множителя:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

Перемножим полученные результаты:

$81 \cdot 625 = 50625$.

Также можно сначала выполнить умножение в скобках, а затем возвести в степень:

$(3 \cdot 5)^4 = 15^4 = (15^2)^2 = 225^2 = 50625$.

Ответ: $3^4 \cdot 5^4 = 50625$.

2) Дано выражение $(7 \cdot 6)^5$.

Применим свойство степени произведения:

$(7 \cdot 6)^5 = 7^5 \cdot 6^5$.

В данном случае вычисление приведет к очень большим числам, поэтому, как правило, в качестве ответа оставляют выражение в виде произведения степеней.

Ответ: $7^5 \cdot 6^5$.

3) Дано выражение $(1,3 \cdot 8)^5$.

Применим свойство степени произведения:

$(1,3 \cdot 8)^5 = 1,3^5 \cdot 8^5$.

Как и в предыдущем примере, дальнейшие вычисления громоздки, поэтому выражение оставляют в виде произведения степеней.

Ответ: $1,3^5 \cdot 8^5$.

4) Дано выражение $(4 \cdot \frac{1}{7})^3$.

Применим свойство степени произведения:

$(4 \cdot \frac{1}{7})^3 = 4^3 \cdot (\frac{1}{7})^3$.

Для возведения дроби в степень нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

$(\frac{1}{7})^3 = \frac{1^3}{7^3} = \frac{1}{343}$.

Вычислим значение первого множителя:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

Теперь перемножим результаты:

$64 \cdot \frac{1}{343} = \frac{64}{343}$.

Дробь $\frac{64}{343}$ является несократимой, так как $64 = 2^6$ и $343 = 7^3$, и у них нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{64}{343}$.

346. 1) $(ax)^7;$

2) $(6y)^6;$

3) $(2,5cd)^2;$

4) $(3nm)^3.$

1) Для того чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить. Это свойство степени описывается формулой $(ab)^n = a^nb^n$.

Применим это правило к выражению $(ax)^7$:

$(ax)^7 = a^7 \cdot x^7 = a^7x^7$

Ответ: $a^7x^7$

2) Используем то же свойство степени для произведения: $(ab)^n = a^nb^n$.

В данном случае, $a=6$, $b=y$ и $n=6$.

$(6y)^6 = 6^6 \cdot y^6$

Теперь вычислим значение $6^6$:

$6^6 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 46656$

Таким образом, итоговое выражение:

$46656y^6$

Ответ: $46656y^6$

3) Правило возведения произведения в степень распространяется и на случай, когда множителей больше двух: $(abc)^n = a^nb^nc^n$.

Применим это правило к выражению $(2,5cd)^2$. Здесь множителями являются $2,5$, $c$ и $d$.

$(2,5cd)^2 = (2,5)^2 \cdot c^2 \cdot d^2$

Вычислим значение $(2,5)^2$:

$(2,5)^2 = 2,5 \cdot 2,5 = 6,25$

Следовательно, получаем:

$6,25c^2d^2$

Ответ: $6,25c^2d^2$

4) Аналогично предыдущим примерам, воспользуемся свойством возведения произведения в степень: $(abc)^n = a^nb^nc^n$.

Для выражения $(3nm)^3$ множителями являются $3$, $n$ и $m$.

$(3nm)^3 = 3^3 \cdot n^3 \cdot m^3$

Вычислим значение $3^3$:

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Таким образом, итоговое выражение:

$27n^3m^3$

Ответ: $27n^3m^3$

347. 1) $(xy^3)^2$;

2) $(a^2b)^3$;

3) $(2b^4)^5$;

4) $(0,1c^3)^2$.

1) Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень. Это свойство степени выражается формулой $(ab)^n = a^n b^n$. Также будем использовать свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим эти правила к выражению $(xy^3)^2$:

$(xy^3)^2 = x^2 \cdot (y^3)^2 = x^2 \cdot y^{3 \cdot 2} = x^2y^6$.

Ответ: $x^2y^6$.

2) Используем те же свойства степеней, что и в предыдущем задании.

Применим их к выражению $(a^2b)^3$:

$(a^2b)^3 = (a^2)^3 \cdot b^3 = a^{2 \cdot 3} \cdot b^3 = a^6b^3$.

Ответ: $a^6b^3$.

3) Снова используем свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим их к выражению $(2b^4)^5$:

$(2b^4)^5 = 2^5 \cdot (b^4)^5 = 32 \cdot b^{4 \cdot 5} = 32b^{20}$.

Ответ: $32b^{20}$.

4) Аналогично предыдущим пунктам, возводим в степень каждый множитель в скобках.

Применим свойства степеней к выражению $(0.1c^3)^2$:

$(0.1c^3)^2 = (0.1)^2 \cdot (c^3)^2 = 0.01 \cdot c^{3 \cdot 2} = 0.01c^6$.

Ответ: $0.01c^6$.

348. 1) $(10n^2m^3)^4$;

2) $(8a^4b^7)^3$;

3) $(-2,3a^3b^4)^2$;

4) $(-2nm^3)^4$.

1) Для того чтобы возвести одночлен в степень, необходимо возвести в эту степень каждый из его множителей. Мы будем использовать правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и правило возведения степени в степень $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$.

$(10n^2m^3)^4 = 10^4 \cdot (n^2)^4 \cdot (m^3)^4$

Теперь вычислим значение каждого множителя по отдельности:

$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$

$(n^2)^4 = n^{2 \cdot 4} = n^8$

$(m^3)^4 = m^{3 \cdot 4} = m^{12}$

Объединяем полученные результаты:

$10000n^8m^{12}$

Ответ: $10000n^8m^{12}$

2) Применим те же правила для возведения одночлена в степень.

$(8a^4b^7)^3 = 8^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^7)^3$

Вычислим каждый множитель:

$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \cdot 8 = 512$

$(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$

$(b^7)^3 = b^{7 \cdot 3} = b^{21}$

Объединяем полученные результаты:

$512a^{12}b^{21}$

Ответ: $512a^{12}b^{21}$

3) В данном случае мы возводим в квадрат одночлен, у которого коэффициент является отрицательным десятичным числом. При возведении в четную степень (в данном случае 2) отрицательный знак исчезает.

$(-2,3a^3b^4)^2 = (-2,3)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2$

Вычислим каждый множитель:

$(-2,3)^2 = (-2,3) \cdot (-2,3) = 5,29$

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$

$(b^4)^2 = b^{4 \cdot 2} = b^8$

Объединяем полученные результаты:

$5,29a^6b^8$

Ответ: $5,29a^6b^8$

4) Возводим одночлен в четвертую степень. Так как степень 4 является четным числом, результат возведения отрицательного коэффициента $-2$ будет положительным. Учтем, что переменная $n$ имеет степень 1 ($n=n^1$).

$(-2nm^3)^4 = (-2)^4 \cdot n^4 \cdot (m^3)^4$

Вычислим каждый множитель:

$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$

$n^4 = n^4$

$(m^3)^4 = m^{3 \cdot 4} = m^{12}$

Объединяем полученные результаты:

$16n^4m^{12}$

Ответ: $16n^4m^{12}$

349. (Устно.) Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если длину каждой стороны увеличить в 2 раза; 3 раза; 10 раз?

Для решения задачи используем формулу площади квадрата: $S = a^2$, где $a$ – длина стороны квадрата. Пусть первоначальная длина стороны равна $a$, а первоначальная площадь $S_{1} = a^2$.

...увеличить в 2 раза:
Новая длина стороны будет равна $2a$. Новая площадь $S_{2}$ составит $(2a)^2 = 4a^2$.
Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь, найдём отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{4a^2}{a^2} = 4$.
Таким образом, площадь увеличится в 4 раза.
Ответ: в 4 раза.

...увеличить в 3 раза:
Новая длина стороны будет равна $3a$. Новая площадь $S_{3}$ составит $(3a)^2 = 9a^2$.
Найдём отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_{3}}{S_{1}} = \frac{9a^2}{a^2} = 9$.
Таким образом, площадь увеличится в 9 раз.
Ответ: в 9 раз.

...увеличить в 10 раз:
Новая длина стороны будет равна $10a$. Новая площадь $S_{4}$ составит $(10a)^2 = 100a^2$.
Найдём отношение новой площади к первоначальной: $\frac{S_{4}}{S_{1}} = \frac{100a^2}{a^2} = 100$.
Таким образом, площадь увеличится в 100 раз.
Ответ: в 100 раз.

350. (Устно.) Какую часть объёма куба составляет куб, ребро которого составляет $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{10}$ часть ребра первого куба?

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой объёма куба: $V = a^3$, где $a$ — длина ребра куба.

Пусть ребро первого (большего) куба равно $a$. Тогда его объём $V_1 = a^3$.

Рассмотрим два случая, указанных в условии.

Если ребро второго куба составляет $\frac{1}{2}$ часть ребра первого куба:

Длина ребра второго куба будет равна $a_2 = \frac{1}{2}a$.

Тогда объём второго куба $V_2$ вычисляется как:

$V_2 = (a_2)^3 = (\frac{1}{2}a)^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot a^3 = \frac{1}{8}a^3$.

Чтобы найти, какую часть объём второго куба составляет от объёма первого, найдём их отношение:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{8}a^3}{a^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

Если ребро второго куба составляет $\frac{1}{10}$ часть ребра первого куба:

Длина ребра второго куба будет равна $a_2 = \frac{1}{10}a$.

Тогда объём второго куба $V_2$ вычисляется как:

$V_2 = (a_2)^3 = (\frac{1}{10}a)^3 = (\frac{1}{10})^3 \cdot a^3 = \frac{1}{1000}a^3$.

Найдём отношение объёмов второго и первого кубов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{1000}a^3}{a^3} = \frac{1}{1000}$.

Ответ: $\frac{1}{1000}$.

351. Записать в виде степени произведения выражение:

1) $4^5 \cdot x^5$;

2) $2^3 \cdot a^3$;

3) $5^4 \cdot 7^4$;

4) $2^5 \cdot 3^5$;

5) $16a^2$;

6) $81k^2$;

7) $9^7n^7m^7$;

8) $15^3a^3b^3$.

1) Для того чтобы записать выражение $4^5 \cdot x^5$ в виде степени произведения, используется свойство степени: произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований. Это свойство выражается формулой $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.

В данном случае основаниями являются $4$ и $x$, а общим показателем степени является $5$.

Применяя формулу, получаем:

$4^5 \cdot x^5 = (4 \cdot x)^5 = (4x)^5$.

Ответ: $(4x)^5$.

2) Аналогично предыдущему примеру, для выражения $2^3 \cdot a^3$ используем свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.

Здесь основаниями являются $2$ и $a$, а показатель степени равен $3$.

Следовательно:

$2^3 \cdot a^3 = (2 \cdot a)^3 = (2a)^3$.

Ответ: $(2a)^3$.

3) В выражении $5^4 \cdot 7^4$ оба множителя возведены в одну и ту же степень $4$.

Применяем свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, где $a = 5$ и $b = 7$.

Перемножаем основания и возводим результат в общую степень:

$5^4 \cdot 7^4 = (5 \cdot 7)^4 = 35^4$.

Ответ: $35^4$.

4) Для выражения $2^5 \cdot 3^5$ основаниями являются числа 2 и 3, а общий показатель степени равен 5.

По правилу умножения степеней с одинаковыми показателями:

$2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5$.

Ответ: $6^5$.

5) В выражении $16a^2$ необходимо сначала представить числовой коэффициент 16 в виде степени с показателем 2, чтобы он соответствовал показателю степени у переменной $a$.

Мы знаем, что $4 \cdot 4 = 16$, то есть $16 = 4^2$.

Теперь выражение можно переписать в виде $4^2 \cdot a^2$.

Далее применяем свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$4^2 \cdot a^2 = (4a)^2$.

Ответ: $(4a)^2$.

6) Аналогично предыдущему заданию, для выражения $81k^2$ представим коэффициент 81 в виде степени с показателем 2.

Известно, что $9 \cdot 9 = 81$, следовательно $81 = 9^2$.

Подставляем это в исходное выражение: $81k^2 = 9^2 \cdot k^2$.

Объединяем основания под общим показателем степени 2:

$9^2 \cdot k^2 = (9k)^2$.

Ответ: $(9k)^2$.

7) Выражение $9^7n^7m^7$ содержит три множителя, каждый из которых возведен в степень 7.

Свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ можно обобщить для любого числа множителей: $a^n \cdot b^n \cdot c^n \dots = (abc\dots)^n$.

Применяем это обобщенное правило для оснований $9$, $n$ и $m$:

$9^7 \cdot n^7 \cdot m^7 = (9 \cdot n \cdot m)^7 = (9nm)^7$.

Ответ: $(9nm)^7$.

8) В выражении $15^3a^3b^3$ все три множителя ($15$, $a$ и $b$) возведены в одну и ту же степень 3.

Используя обобщенное свойство для произведения степеней с одинаковым показателем, получаем:

$15^3 \cdot a^3 \cdot b^3 = (15 \cdot a \cdot b)^3 = (15ab)^3$.

Ответ: $(15ab)^3$.

Записать выражение в виде степени с показателем 2 (352–353).

352. 1) $c^2d^{10}$; 2) $a^4b^6$; 3) $25a^4$; 4) $81m^2$.

1) Чтобы представить выражение $c^2d^{10}$ в виде степени с показателем 2, нужно каждый множитель этого выражения представить в виде квадрата некоторого выражения. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Множитель $c^2$ уже является квадратом переменной $c$, то есть $c^2 = (c)^2$.
Множитель $d^{10}$ можно представить как квадрат выражения $d^5$, поскольку $d^{10} = d^{5 \cdot 2} = (d^5)^2$.
Теперь объединим полученные результаты:
$c^2d^{10} = c^2 \cdot (d^5)^2 = (c \cdot d^5)^2 = (cd^5)^2$.
Ответ: $(cd^5)^2$.

2) Чтобы представить выражение $a^4b^6$ в виде степени с показателем 2, применим те же свойства степеней.
Представим $a^4$ в виде квадрата: $a^4 = a^{2 \cdot 2} = (a^2)^2$.
Представим $b^6$ в виде квадрата: $b^6 = b^{3 \cdot 2} = (b^3)^2$.
Объединяем множители под одним квадратом:
$a^4b^6 = (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 = (a^2b^3)^2$.
Ответ: $(a^2b^3)^2$.

3) Чтобы представить выражение $25a^4$ в виде степени с показателем 2, нужно представить в виде квадрата как числовой коэффициент, так и переменную часть.
Числовой коэффициент $25$ является квадратом числа $5$, то есть $25 = 5^2$.
Переменную часть $a^4$ представим в виде квадрата: $a^4 = (a^2)^2$.
Теперь объединим множители:
$25a^4 = 5^2 \cdot (a^2)^2 = (5a^2)^2$.
Ответ: $(5a^2)^2$.

4) Чтобы представить выражение $81m^2$ в виде степени с показателем 2, поступим аналогично предыдущему пункту.
Числовой коэффициент $81$ является квадратом числа $9$, то есть $81 = 9^2$.
Переменная часть $m^2$ является квадратом переменной $m$, то есть $m^2 = (m)^2$.
Объединяем полученные квадраты:
$81m^2 = 9^2 \cdot m^2 = (9m)^2$.
Ответ: $(9m)^2$.

353. 1) $a^4b^6c^2$;

2) $x^2y^4z^8$;

3) $49x^8y^6$;

4) $100c^8x^6$.

1) Чтобы представить одночлен $a^4b^6c^2$ в виде квадрата другого одночлена, нужно каждый множитель представить в виде квадрата. Это возможно, так как все показатели степеней являются четными числами. Мы используем свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ в обратном порядке: $x^{mn} = (x^m)^n$.
Для каждого множителя имеем:
$a^4 = (a^{4/2})^2 = (a^2)^2$
$b^6 = (b^{6/2})^2 = (b^3)^2$
$c^2 = (c^{2/2})^2 = (c^1)^2 = c^2$
Теперь объединим полученные выражения в один одночлен:
$a^4b^6c^2 = (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot c^2 = (a^2b^3c)^2$.
Ответ: $(a^2b^3c)^2$.

2) Для представления одночлена $x^2y^4z^8$ в виде квадрата, мы должны найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя.
$\sqrt{x^2} = x^{2/2} = x$
$\sqrt{y^4} = y^{4/2} = y^2$
$\sqrt{z^8} = z^{8/2} = z^4$
Таким образом, исходный одночлен можно записать как квадрат произведения этих корней:
$x^2y^4z^8 = (xy^2z^4)^2$.
Проверка: $(xy^2z^4)^2 = x^2 \cdot (y^2)^2 \cdot (z^4)^2 = x^2y^4z^8$.
Ответ: $(xy^2z^4)^2$.

3) Чтобы представить одночлен $49x^8y^6$ в виде квадрата, необходимо представить в виде квадрата числовой коэффициент и каждую переменную в степени.
Числовой коэффициент $49$ является квадратом числа $7$, так как $49 = 7^2$.
Для переменных, показатели степеней которых четные, делим их на 2:
$x^8 = (x^{8/2})^2 = (x^4)^2$
$y^6 = (y^{6/2})^2 = (y^3)^2$
Собираем все части вместе, используя свойство $(abc)^2 = a^2b^2c^2$:
$49x^8y^6 = 7^2 \cdot (x^4)^2 \cdot (y^3)^2 = (7x^4y^3)^2$.
Ответ: $(7x^4y^3)^2$.

4) Рассмотрим одночлен $100a^8x^6$. Чтобы представить его в виде квадрата, нужно найти одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение.
Сначала находим квадратный корень из числового коэффициента: $\sqrt{100} = 10$.
Затем находим корни из степеней переменных, деля их показатели на 2:
$\sqrt{a^8} = a^{8/2} = a^4$
$\sqrt{x^6} = x^{6/2} = x^3$
Объединив все части, получаем одночлен, который является квадратным корнем из исходного: $10a^4x^3$.
Таким образом, исходный одночлен является квадратом этого выражения:
$100a^8x^6 = (10a^4x^3)^2$.
Ответ: $(10a^4x^3)^2$.

Вычислить (354—356).

354. 1) $(0,25)^7 \cdot 4^7;$

2) $\left(\frac{4}{5}\right)^{17} \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^{17};$

3) $(-0,125)^{11} \cdot 8^{11};$

4) $(-0,2)^5 \cdot 5^5.$

1) Для вычисления выражения $(0,25)^7 \cdot 4^7$ воспользуемся свойством степени: произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения оснований с тем же показателем. Это свойство записывается формулой: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Применим эту формулу к нашему выражению:
$(0,25)^7 \cdot 4^7 = (0,25 \cdot 4)^7$
Вычислим произведение в скобках:
$0,25 \cdot 4 = 1$
Теперь подставим результат обратно в выражение:
$(1)^7 = 1$
Любая степень единицы равна единице.
Ответ: 1

2) Для вычисления выражения $(\frac{4}{5})^{17} \cdot (\frac{5}{4})^{17}$ используем то же свойство степеней, что и в предыдущем примере: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Применим его:
$(\frac{4}{5})^{17} \cdot (\frac{5}{4})^{17} = (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4})^{17}$
Вычислим произведение дробей в скобках. Дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{4}$ являются взаимно обратными, их произведение равно 1.
$\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 4} = \frac{20}{20} = 1$
Подставим результат в наше выражение:
$(1)^{17} = 1$
Ответ: 1

3) Вычислим выражение $(-0,125)^{11} \cdot 8^{11}$. Снова применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$(-0,125)^{11} \cdot 8^{11} = (-0,125 \cdot 8)^{11}$
Вычислим произведение в скобках. Удобно представить десятичную дробь 0,125 в виде обыкновенной дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
$-0,125 \cdot 8 = -\frac{1}{8} \cdot 8 = -1$
Теперь возведем результат в степень:
$(-1)^{11}$
Поскольку показатель степени 11 является нечетным числом, результат будет отрицательным.
$(-1)^{11} = -1$
Ответ: -1

4) Вычислим выражение $(-0,2)^5 \cdot 5^5$. Используем свойство произведения степеней: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$(-0,2)^5 \cdot 5^5 = (-0,2 \cdot 5)^5$
Вычислим произведение в скобках. Представим десятичную дробь 0,2 в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$-0,2 \cdot 5 = -\frac{1}{5} \cdot 5 = -1$
Подставим полученное значение обратно в выражение:
$(-1)^5$
Показатель степени 5 — нечетное число, поэтому результат будет отрицательным.
$(-1)^5 = -1$
Ответ: -1