Номер 356, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Одночлены и многочлены. Параграф 17. Свойства степени с натуральным показателем. Упражнения - номер 356, страница 117.

Условие.

356. 1) $\frac{81 \cdot 27^3}{3^8}$;

2) $\frac{2^8 \cdot (7^2)^4}{14^7}$;

3) $\frac{16^2 \cdot 3^5}{12^4}$;

4) $\frac{2^9 \cdot (2^2)^5}{(2^5)^3}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{81 \cdot 27^3}{3^8}$, представим все числа в виде степени с основанием 3.
Число 81 можно представить как $3^4$.
Число 27 можно представить как $3^3$. Тогда $27^3 = (3^3)^3$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $(3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{81 \cdot 27^3}{3^8} = \frac{3^4 \cdot 3^9}{3^8}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^4 \cdot 3^9 = 3^{4+9} = 3^{13}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{3^{13}}{3^8}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{3^{13}}{3^8} = 3^{13-8} = 3^5$.
Вычислим значение: $3^5 = 243$.
Ответ: 243.

2) Рассмотрим выражение $\frac{2^8 \cdot (7^2)^4}{14^7}$.
Сначала упростим числитель. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$.
Числитель принимает вид $2^8 \cdot 7^8$. Используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем $2^8 \cdot 7^8 = (2 \cdot 7)^8 = 14^8$.
Подставим упрощенный числитель в исходное выражение: $\frac{14^8}{14^7}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $14^{8-7} = 14^1 = 14$.
Ответ: 14.

3) Чтобы решить $\frac{16^2 \cdot 3^5}{12^4}$, разложим основания 16 и 12 на простые множители (2 и 3).
Представим 16 как степень двойки: $16 = 2^4$. Тогда $16^2 = (2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.
Представим 12 как произведение простых множителей: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Тогда $12^4 = (2^2 \cdot 3)^4 = (2^2)^4 \cdot 3^4 = 2^{2 \cdot 4} \cdot 3^4 = 2^8 \cdot 3^4$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{2^8 \cdot 3^5}{2^8 \cdot 3^4}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сократим их:
$\frac{2^8}{2^8} \cdot \frac{3^5}{3^4} = 2^{8-8} \cdot 3^{5-4} = 2^0 \cdot 3^1$.
Так как любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$), получаем: $1 \cdot 3 = 3$.
Ответ: 3.

4) Рассмотрим выражение $\frac{2^9 \cdot (2^2)^5}{(2^5)^3}$. Все основания уже равны 2, поэтому нужно только упростить показатели степеней.
Упростим числитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$.
Теперь числитель равен $2^9 \cdot 2^{10}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$2^9 \cdot 2^{10} = 2^{9+10} = 2^{19}$.
Упростим знаменатель:
$(2^5)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}$.
Теперь дробь имеет вид $\frac{2^{19}}{2^{15}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$2^{19-15} = 2^4$.
Вычислим значение: $2^4 = 16$.
Ответ: 16.