Номер 367, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (367-368).

367. 1) $\frac{6^{12} \cdot 4^{12}}{3^{12} \cdot 8^{12}}$;

2) $\frac{4^{10} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 6^{10}}$;

3) $\frac{15^4}{3^4 \cdot 5^2 \cdot 25}$;

4) $\frac{4^{16}}{8^{10}}$.

1) Для вычисления выражения $\frac{6^{12} \cdot 4^{12}}{3^{12} \cdot 8^{12}}$ воспользуемся свойством степеней: $\frac{a^n \cdot b^n}{c^n \cdot d^n} = (\frac{a \cdot b}{c \cdot d})^n$. Поскольку все множители возведены в одну и ту же степень 12, мы можем сгруппировать основания:
$(\frac{6 \cdot 4}{3 \cdot 8})^{12} = (\frac{24}{24})^{12} = 1^{12}$
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, а 1 в любой степени равно 1.
$1^{12} = 1$
Ответ: 1.

2) Для вычисления выражения $\frac{4^{10} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 6^{10}}$ поступим аналогично первому пункту, так как все степени одинаковы и равны 10.
$(\frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 6})^{10} = (\frac{12}{12})^{10} = 1^{10} = 1$
Ответ: 1.

3) Рассмотрим выражение $\frac{15^4}{3^4 \cdot 5^2 \cdot 25}$.
Преобразуем знаменатель, представив число 25 как степень пятерки: $25 = 5^2$.
Знаменатель примет вид: $3^4 \cdot 5^2 \cdot 5^2$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получим:
$3^4 \cdot 5^{2+2} = 3^4 \cdot 5^4$.
Теперь, используя свойство произведения степеней ($(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$), можем записать знаменатель как:
$3^4 \cdot 5^4 = (3 \cdot 5)^4 = 15^4$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{15^4}{15^4} = 1$
Ответ: 1.

4) Для вычисления выражения $\frac{4^{16}}{8^{10}}$ необходимо привести основания степеней к одному числу. Заметим, что 4 и 8 являются степенями числа 2.
$4 = 2^2$
$8 = 2^3$
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(2^2)^{16}}{(2^3)^{10}}$
Используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$\frac{2^{2 \cdot 16}}{2^{3 \cdot 10}} = \frac{2^{32}}{2^{30}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$2^{32-30} = 2^2$
Вычислим конечный результат:
$2^2 = 4$
Ответ: 4.