Номер 373, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

373. Вычислить:

1) $ \frac{2^5 \cdot 5^{22} - 2 \cdot 5^{21}}{25^{10}} $;

2) $ \frac{5 \cdot 2^{32} - 4 \cdot 2^{30}}{4^{16}} $;

3) $ \frac{(4 \cdot 3^{22} + 7 \cdot 3^{21}) \cdot 57}{(19 \cdot 27^4)^2} $;

4) $ \frac{5(3 \cdot 7^{15} - 19 \cdot 7^{14})}{7^{16} + 3 \cdot 7^{15}} $.

1) $\frac{2^5 \cdot 5^{22} - 2 \cdot 5^{21}}{25^{10}}$

Сначала преобразуем числитель. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $5^{21}$:

$2^5 \cdot 5^{22} - 2 \cdot 5^{21} = 2^5 \cdot 5 \cdot 5^{21} - 2 \cdot 5^{21} = (2^5 \cdot 5 - 2) \cdot 5^{21}$

Вычислим значение в скобках:

$(32 \cdot 5 - 2) \cdot 5^{21} = (160 - 2) \cdot 5^{21} = 158 \cdot 5^{21}$

Теперь преобразуем знаменатель. Представим 25 как $5^2$:

$25^{10} = (5^2)^{10} = 5^{2 \cdot 10} = 5^{20}$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{158 \cdot 5^{21}}{5^{20}}$

Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$158 \cdot 5^{21-20} = 158 \cdot 5^1 = 158 \cdot 5 = 790$

Ответ: $790$.

2) $\frac{5 \cdot 2^{32} - 4 \cdot 2^{30}}{4^{16}}$

Преобразуем числитель. Представим $4$ как $2^2$ и вынесем общий множитель $2^{30}$ за скобки:

$5 \cdot 2^{32} - 4 \cdot 2^{30} = 5 \cdot 2^2 \cdot 2^{30} - 4 \cdot 2^{30} = (5 \cdot 4 - 4) \cdot 2^{30} = (20 - 4) \cdot 2^{30} = 16 \cdot 2^{30}$

Так как $16 = 2^4$, числитель равен $2^4 \cdot 2^{30} = 2^{34}$.

Теперь преобразуем знаменатель. Представим 4 как $2^2$:

$4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{2 \cdot 16} = 2^{32}$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{2^{34}}{2^{32}}$

Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{34-32} = 2^2 = 4$

Ответ: $4$.

3) $\frac{(4 \cdot 3^{22} + 7 \cdot 3^{21}) \cdot 57}{(19 \cdot 27^4)^2}$

Упростим выражение в скобках в числителе, вынеся общий множитель $3^{21}$:

$4 \cdot 3^{22} + 7 \cdot 3^{21} = 4 \cdot 3 \cdot 3^{21} + 7 \cdot 3^{21} = (4 \cdot 3 + 7) \cdot 3^{21} = (12+7) \cdot 3^{21} = 19 \cdot 3^{21}$

Теперь весь числитель выглядит так: $(19 \cdot 3^{21}) \cdot 57$. Разложим $57$ на множители $3 \cdot 19$:

$19 \cdot 3^{21} \cdot (3 \cdot 19) = 19^2 \cdot 3^{21+1} = 19^2 \cdot 3^{22}$

Преобразуем знаменатель. Используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$(19 \cdot 27^4)^2 = 19^2 \cdot (27^4)^2 = 19^2 \cdot 27^8$

Представим $27$ как $3^3$:

$19^2 \cdot (3^3)^8 = 19^2 \cdot 3^{3 \cdot 8} = 19^2 \cdot 3^{24}$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{19^2 \cdot 3^{22}}{19^2 \cdot 3^{24}}$

Сокращаем $19^2$ и используем свойство степеней:

$\frac{3^{22}}{3^{24}} = 3^{22-24} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$.

4) $\frac{5(3 \cdot 7^{15} - 19 \cdot 7^{14})}{7^{16} + 3 \cdot 7^{15}}$

Упростим выражение в скобках в числителе, вынеся общий множитель $7^{14}$:

$3 \cdot 7^{15} - 19 \cdot 7^{14} = 3 \cdot 7 \cdot 7^{14} - 19 \cdot 7^{14} = (3 \cdot 7 - 19) \cdot 7^{14} = (21 - 19) \cdot 7^{14} = 2 \cdot 7^{14}$

Тогда весь числитель равен $5 \cdot (2 \cdot 7^{14}) = 10 \cdot 7^{14}$.

Теперь преобразуем знаменатель, вынеся общий множитель $7^{15}$:

$7^{16} + 3 \cdot 7^{15} = 7 \cdot 7^{15} + 3 \cdot 7^{15} = (7+3) \cdot 7^{15} = 10 \cdot 7^{15}$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{10 \cdot 7^{14}}{10 \cdot 7^{15}}$

Сокращаем 10 и используем свойство степеней:

$\frac{7^{14}}{7^{15}} = 7^{14-15} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$.