Страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

418. Доказать, что сумма:

1) семи последовательных натуральных чисел делится на 7;

2) четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8.

1) Обозначим семь последовательных натуральных чисел. Чтобы доказательство было нагляднее, выберем в качестве переменной $n$ среднее (четвертое) число в этой последовательности. Тогда все семь чисел можно записать в виде: $n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3$. Чтобы все числа в этой последовательности были натуральными, самое меньшее из них, $n-3$, должно быть больше или равно 1. Это означает, что $n-3 \ge 1$, или $n \ge 4$. Теперь найдем сумму $S$ этих семи чисел: $S = (n-3) + (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$. Если мы раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, то увидим, что положительные и отрицательные добавки к $n$ взаимно уничтожаются: $S = 7n + (-3 - 2 - 1 + 1 + 2 + 3) = 7n + 0 = 7n$. Сумма равна $7n$. Так как $n$ — это целое число (по условию $n \ge 4$), то произведение $7n$ всегда делится на 7 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Сумма семи последовательных натуральных чисел всегда делится на 7.

2) Любое нечётное число можно представить в виде $2k \pm 1$, где $k$ — целое число. Последовательные нечётные числа отличаются друг от друга на 2. Обозначим четыре последовательных нечётных числа. Для удобства вычислений представим их симметрично относительно некоторого четного числа. Пусть числа имеют вид: $2n-3, 2n-1, 2n+1, 2n+3$. Чтобы эти числа были натуральными нечётными числами, наименьшее из них, $2n-3$, должно быть не меньше 1. Отсюда $2n-3 \ge 1$, что означает $2n \ge 4$, или $n \ge 2$. Найдем сумму $S$ этих четырех чисел: $S = (2n-3) + (2n-1) + (2n+1) + (2n+3)$. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые. Как и в предыдущем пункте, числовые добавки взаимно уничтожатся: $S = (2n+2n+2n+2n) + (-3 - 1 + 1 + 3) = 8n + 0 = 8n$. Сумма равна $8n$. Так как $n$ — это целое число (по условию $n \ge 2$), то произведение $8n$ всегда делится на 8 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда делится на 8.

419. Упростить:

1) $12.5x^2 + y^2 - (8x^2 - 5y^2 - (-10x^2 + (5.5x^2 - 6y^2)))$;

2) $0.6ab^2 + (2a^3 + b^3 - (3ab^2 - (a^3 + 2.4ab^2 - b^3))))$).

1) Для упрощения выражения $12,5x^2 + y^2 - (8x^2 - 5y^2 - (-10x^2 + (5,5x^2 - 6y^2)))$ будем последовательно раскрывать скобки, начиная с самых внутренних.

Шаг 1: Раскроем самые внутренние скобки $(5,5x^2 - 6y^2)$. Так как перед ними стоит знак «+», знаки слагаемых не меняются. Выражение в следующих по порядку скобках принимает вид:
$-10x^2 + 5,5x^2 - 6y^2$
Приведем подобные слагаемые: $(-10 + 5,5)x^2 - 6y^2 = -4,5x^2 - 6y^2$.

Теперь исходное выражение выглядит так:
$12,5x^2 + y^2 - (8x^2 - 5y^2 - (-4,5x^2 - 6y^2))$

Шаг 2: Раскроем скобки $-(-4,5x^2 - 6y^2)$. Так как перед ними стоит знак «-», знаки слагаемых внутри меняются на противоположные:
$4,5x^2 + 6y^2$
Выражение в оставшихся скобках принимает вид:
$8x^2 - 5y^2 + 4,5x^2 + 6y^2$
Приведем подобные слагаемые: $(8 + 4,5)x^2 + (-5 + 6)y^2 = 12,5x^2 + y^2$.

Теперь исходное выражение выглядит так:
$12,5x^2 + y^2 - (12,5x^2 + y^2)$

Шаг 3: Раскроем последние скобки. Так как перед ними стоит знак «-», знаки слагаемых внутри меняются на противоположные:
$12,5x^2 + y^2 - 12,5x^2 - y^2$

Шаг 4: Приведем подобные слагаемые:
$(12,5x^2 - 12,5x^2) + (y^2 - y^2) = 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$.

2) Для упрощения выражения $0,6ab^2 + (2a^3 + b^3 - (3ab^2 - (a^3 + 2,4ab^2 - b^3)))$ также будем раскрывать скобки изнутри наружу.

Шаг 1: Раскроем самые внутренние скобки $-(a^3 + 2,4ab^2 - b^3)$. Перед ними стоит знак «-», поэтому меняем знаки всех слагаемых внутри:
$3ab^2 - a^3 - 2,4ab^2 + b^3$
Приведем подобные слагаемые: $(3 - 2,4)ab^2 - a^3 + b^3 = 0,6ab^2 - a^3 + b^3$.

Теперь исходное выражение выглядит так:
$0,6ab^2 + (2a^3 + b^3 - (0,6ab^2 - a^3 + b^3))$

Шаг 2: Раскроем следующие скобки. Перед ними также стоит знак «-», меняем знаки слагаемых:
$2a^3 + b^3 - 0,6ab^2 + a^3 - b^3$
Приведем подобные слагаемые: $(2a^3 + a^3) + (b^3 - b^3) - 0,6ab^2 = 3a^3 - 0,6ab^2$.

Теперь исходное выражение выглядит так:
$0,6ab^2 + (3a^3 - 0,6ab^2)$

Шаг 3: Раскроем последние скобки. Перед ними стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых не меняются:
$0,6ab^2 + 3a^3 - 0,6ab^2$

Шаг 4: Приведем подобные слагаемые:
$(0,6ab^2 - 0,6ab^2) + 3a^3 = 0 + 3a^3 = 3a^3$

Ответ: $3a^3$.

420. В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц. Если от этого числа отнять число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 36. Найти число.

Пусть искомое двузначное число имеет $x$ десятков и $y$ единиц. Тогда значение этого числа можно записать как $10x + y$.

По условию задачи, количество десятков втрое больше, чем количество единиц. Это можно выразить уравнением:
$x = 3y$

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь $y$ десятков и $x$ единиц. Его значение равно $10y + x$.

Далее, по условию, если от исходного числа отнять число с переставленными цифрами, получится 36. Составим второе уравнение:
$(10x + y) - (10y + x) = 36$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x = 3y \\ (10x + y) - (10y + x) = 36 \end{cases} $

Сначала упростим второе уравнение:

$10x + y - 10y - x = 36$
$9x - 9y = 36$

Разделим обе части уравнения на 9, чтобы упростить его еще больше:

$x - y = 4$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $x$ из первого уравнения ($x = 3y$):

$3y - y = 4$
$2y = 4$
$y = \frac{4}{2}$
$y = 2$

Мы нашли цифру единиц: $y=2$. Теперь найдем цифру десятков, используя первое уравнение:

$x = 3y = 3 \cdot 2 = 6$

Таким образом, цифра десятков равна 6, а цифра единиц — 2. Искомое число — 62.

Выполним проверку:

1. Цифра десятков (6) втрое больше цифры единиц (2): $6 = 3 \cdot 2$. Условие выполняется.

2. Разность между исходным числом (62) и обратным ему числом (26) равна 36: $62 - 26 = 36$. Условие выполняется.

Ответ: 62.

421. В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц. Если к этому числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 132. Найти число.

Пусть искомое двузначное число состоит из $y$ десятков и $x$ единиц. Тогда его значение можно записать в виде выражения $10y + x$.

Согласно первому условию задачи, «десятков втрое больше, чем единиц». Это соотношение можно записать в виде уравнения: $y = 3x$.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь $x$ в разряде десятков и $y$ в разряде единиц. Его значение можно представить как $10x + y$.

Второе условие гласит, что если к исходному числу прибавить число с переставленными цифрами, то получится 132. Составим на основе этого второе уравнение: $(10y + x) + (10x + y) = 132$.

Упростим полученное уравнение, сгруппировав подобные члены: $11x + 11y = 132$. Для дальнейшего упрощения разделим обе части уравнения на 11, что даст нам: $x + y = 12$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
1) $y = 3x$
2) $x + y = 12$
Для решения системы подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе: $x + (3x) = 12$.

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$4x = 12$
$x = \frac{12}{4}$
$x = 3$.
Таким образом, цифра в разряде единиц равна 3.

Теперь найдем цифру в разряде десятков, подставив значение $x=3$ в первое уравнение: $y = 3x = 3 \cdot 3 = 9$. Цифра в разряде десятков равна 9.

Итак, искомое число состоит из 9 десятков и 3 единиц, то есть это число 93.

Выполним проверку. Первое условие: цифра десятков (9) действительно втрое больше цифры единиц (3), так как $9 = 3 \cdot 3$. Второе условие: сумма исходного числа (93) и обратного ему (39) равна $93 + 39 = 132$. Оба условия выполняются.

Ответ: 93.