Номер 418, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

418. Доказать, что сумма:

1) семи последовательных натуральных чисел делится на 7;

2) четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8.

1) Обозначим семь последовательных натуральных чисел. Чтобы доказательство было нагляднее, выберем в качестве переменной $n$ среднее (четвертое) число в этой последовательности. Тогда все семь чисел можно записать в виде: $n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3$. Чтобы все числа в этой последовательности были натуральными, самое меньшее из них, $n-3$, должно быть больше или равно 1. Это означает, что $n-3 \ge 1$, или $n \ge 4$. Теперь найдем сумму $S$ этих семи чисел: $S = (n-3) + (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$. Если мы раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, то увидим, что положительные и отрицательные добавки к $n$ взаимно уничтожаются: $S = 7n + (-3 - 2 - 1 + 1 + 2 + 3) = 7n + 0 = 7n$. Сумма равна $7n$. Так как $n$ — это целое число (по условию $n \ge 4$), то произведение $7n$ всегда делится на 7 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Сумма семи последовательных натуральных чисел всегда делится на 7.

2) Любое нечётное число можно представить в виде $2k \pm 1$, где $k$ — целое число. Последовательные нечётные числа отличаются друг от друга на 2. Обозначим четыре последовательных нечётных числа. Для удобства вычислений представим их симметрично относительно некоторого четного числа. Пусть числа имеют вид: $2n-3, 2n-1, 2n+1, 2n+3$. Чтобы эти числа были натуральными нечётными числами, наименьшее из них, $2n-3$, должно быть не меньше 1. Отсюда $2n-3 \ge 1$, что означает $2n \ge 4$, или $n \ge 2$. Найдем сумму $S$ этих четырех чисел: $S = (2n-3) + (2n-1) + (2n+1) + (2n+3)$. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые. Как и в предыдущем пункте, числовые добавки взаимно уничтожатся: $S = (2n+2n+2n+2n) + (-3 - 1 + 1 + 3) = 8n + 0 = 8n$. Сумма равна $8n$. Так как $n$ — это целое число (по условию $n \ge 2$), то произведение $8n$ всегда делится на 8 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда делится на 8.