Номер 415, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

415. Найти «столбиком» разность многочленов:

1) $3a^2+8a-4$ и $3+8a-5a^2$;

2) $b^3-3b^2+4b$ и $b+2b^2+b^3$.

1) Чтобы найти разность многочленов $3a^2 + 8a - 4$ и $3 + 8a - 5a^2$ «столбиком», необходимо выполнить следующие действия:

Сначала приведём оба многочлена к стандартному виду, расположив их члены по убыванию степеней переменной $a$.

Первый многочлен: $3a^2 + 8a - 4$.

Второй многочлен: $3 + 8a - 5a^2$ в стандартном виде записывается как $-5a^2 + 8a + 3$.

Теперь вычтем второй многочлен из первого. Для этого нужно вычесть подобные члены (члены с одинаковой степенью переменной) второго многочлена из соответствующих членов первого. Это эквивалентно тому, чтобы изменить знаки всех членов второго многочлена на противоположные и сложить его с первым.

Выполняем вычитание по разрядам (столбикам):

Вычитаем члены с $a^2$: $3a^2 - (-5a^2) = 3a^2 + 5a^2 = 8a^2$.

Вычитаем члены с $a$: $8a - (8a) = 8a - 8a = 0$.

Вычитаем свободные члены: $-4 - (3) = -4 - 3 = -7$.

Теперь сложим полученные результаты: $8a^2 + 0 - 7$.

Результатом вычитания является многочлен $8a^2 - 7$.

Ответ: $8a^2 - 7$.

2) Чтобы найти разность многочленов $b^3 - 3b^2 + 4b$ и $b + 2b^2 + b^3$ «столбиком», выполним аналогичные действия:

Сначала приведём оба многочлена к стандартному виду.

Первый многочлен: $b^3 - 3b^2 + 4b$. Он уже в стандартном виде. Свободный член равен 0.

Второй многочлен: $b + 2b^2 + b^3$ в стандартном виде записывается как $b^3 + 2b^2 + b$. Свободный член также равен 0.

Теперь вычтем второй многочлен из первого, действуя по разрядам:

Вычитаем члены с $b^3$: $b^3 - (b^3) = b^3 - b^3 = 0$.

Вычитаем члены с $b^2$: $-3b^2 - (2b^2) = -3b^2 - 2b^2 = -5b^2$.

Вычитаем члены с $b$: $4b - (b) = 4b - b = 3b$.

Сложим полученные результаты: $0 - 5b^2 + 3b$.

Результатом вычитания является многочлен $-5b^2 + 3b$.

Ответ: $-5b^2 + 3b$.