Номер 1, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 23. Умножение многочлена на одночлен. Глава 4. Одночлены и многочлены - номер 1, страница 140.

Условие.

1. Сформулировать алгоритм умножения многочлена на одночлен.

Решение 1.

Решение 5.

1.

Алгоритм умножения многочлена на одночлен основан на распределительном (дистрибутивном) свойстве умножения относительно сложения и вычитания. Это свойство можно записать в виде формулы: $a(b + c) = ab + ac$.
Чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо выполнить следующие действия:

1. Умножить данный одночлен на каждый член многочлена.

2. При умножении каждого члена многочлена на одночлен (что является умножением двух одночленов) следует:
а) Перемножить их числовые коэффициенты.
б) Перемножить их переменные части, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

3. Полученные произведения сложить алгебраически (то есть, записывая их друг за другом с их знаками).

4. Если в полученном многочлене есть подобные слагаемые, привести их (то есть сложить коэффициенты у членов с одинаковой буквенной частью). Как правило, если исходный многочлен был в стандартном виде, подобных слагаемых в результате не будет.

Пример:
Умножим многочлен $(5x^3 - 2xy + 4y^2)$ на одночлен $(-3x^2y)$.

$(-3x^2y) \cdot (5x^3 - 2xy + 4y^2)$

Шаг 1 и 2: Умножаем одночлен $(-3x^2y)$ на каждый член многочлена.
- Первое произведение: $(-3x^2y) \cdot (5x^3) = (-3 \cdot 5) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot y = -15x^{2+3}y = -15x^5y$
- Второе произведение: $(-3x^2y) \cdot (-2xy) = (-3 \cdot -2) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y) = 6x^{2+1}y^{1+1} = 6x^3y^2$
- Третье произведение: $(-3x^2y) \cdot (4y^2) = (-3 \cdot 4) \cdot x^2 \cdot (y \cdot y^2) = -12x^2y^{1+2} = -12x^2y^3$

Шаг 3: Складываем полученные произведения.
$-15x^5y + 6x^3y^2 - 12x^2y^3$

Шаг 4: Проверяем на наличие подобных слагаемых. В данном многочлене их нет, поэтому выражение является окончательным результатом.

Ответ: Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения алгебраически сложить.