Страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Найти значение одночлена:

1) $2ab^2 \frac{1}{2} aab$ при $a=-1, b=2;$

2) $-2.5xy^3x(-4)yx^2$ при $x=2, y=-1.$

1)

Для того чтобы найти значение одночлена, сначала приведем его к стандартному виду. Для этого перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

$2ab^2 \frac{1}{2} aab = (2 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (a \cdot a \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b)$

Вычисляем произведение коэффициентов: $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Применяем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a \cdot a \cdot a = a^1 \cdot a^1 \cdot a^1 = a^{1+1+1} = a^3$

$b^2 \cdot b = b^2 \cdot b^1 = b^{2+1} = b^3$

Таким образом, упрощенный одночлен имеет вид: $1 \cdot a^3 \cdot b^3 = a^3b^3$.

Теперь подставим в полученное выражение значения переменных $a = -1$ и $b = 2$:

$a^3b^3 = (-1)^3 \cdot 2^3 = (-1) \cdot 8 = -8$.

Ответ: $-8$.

2)

Аналогично первому пункту, сначала упростим одночлен, приведя его к стандартному виду.

$-2,5xy^3x(-4)yx^2 = (-2,5 \cdot (-4)) \cdot (x \cdot x \cdot x^2) \cdot (y^3 \cdot y)$

Вычисляем произведение числовых коэффициентов: $-2,5 \cdot (-4) = 10$.

Группируем и перемножаем степени с одинаковыми основаниями:

$x \cdot x \cdot x^2 = x^{1+1+2} = x^4$

$y^3 \cdot y = y^{3+1} = y^4$

Стандартный вид одночлена: $10x^4y^4$.

Подставим в упрощенное выражение значения переменных $x = 2$ и $y = -1$:

$10x^4y^4 = 10 \cdot 2^4 \cdot (-1)^4 = 10 \cdot 16 \cdot 1 = 160$.

Ответ: $160$.

3. Найти сумму и разность многочленов:

1) $5a - 3b + 1$ и $-6a + 2b - 3$;

2) $0,5x^2y + 1,5xy^2 - 2$ и $2,5x^2y - 0,5xy^2 + 2.

1) Даны многочлены $5a - 3b + 1$ и $-6a + 2b - 3$.

Сумма:
Чтобы найти сумму многочленов, сложим их и приведем подобные слагаемые.

$(5a - 3b + 1) + (-6a + 2b - 3) = 5a - 3b + 1 - 6a + 2b - 3$

Группируем подобные члены:

$(5a - 6a) + (-3b + 2b) + (1 - 3) = -a - b - 2$

Ответ: $-a - b - 2$.

Разность:
Чтобы найти разность многочленов, вычтем второй многочлен из первого. При раскрытии скобок знаки членов второго многочлена изменятся на противоположные.

$(5a - 3b + 1) - (-6a + 2b - 3) = 5a - 3b + 1 + 6a - 2b + 3$

Группируем подобные члены:

$(5a + 6a) + (-3b - 2b) + (1 + 3) = 11a - 5b + 4$

Ответ: $11a - 5b + 4$.

2) Даны многочлены $0,5x^2y + 1,5xy^2 - 2$ и $2,5x^2y - 0,5xy^2 + 2$.

Сумма:
Сложим многочлены и приведем подобные слагаемые.

$(0,5x^2y + 1,5xy^2 - 2) + (2,5x^2y - 0,5xy^2 + 2) = 0,5x^2y + 1,5xy^2 - 2 + 2,5x^2y - 0,5xy^2 + 2$

Группируем подобные члены:

$(0,5x^2y + 2,5x^2y) + (1,5xy^2 - 0,5xy^2) + (-2 + 2) = 3x^2y + 1xy^2 + 0 = 3x^2y + xy^2$

Ответ: $3x^2y + xy^2$.

Разность:
Вычтем второй многочлен из первого, изменив знаки членов второго многочлена на противоположные.

$(0,5x^2y + 1,5xy^2 - 2) - (2,5x^2y - 0,5xy^2 + 2) = 0,5x^2y + 1,5xy^2 - 2 - 2,5x^2y + 0,5xy^2 - 2$

Группируем подобные члены:

$(0,5x^2y - 2,5x^2y) + (1,5xy^2 + 0,5xy^2) + (-2 - 2) = -2x^2y + 2xy^2 - 4$

Ответ: $-2x^2y + 2xy^2 - 4$.

4. Найти:

1) $30\%$ от числа 60;

2) число, $30\%$ которого равны 60.

1) Чтобы найти процент от числа, необходимо перевести проценты в десятичную дробь и затем умножить эту дробь на исходное число.
Переведем 30% в десятичную дробь, разделив на 100:
$30\% = \frac{30}{100} = 0.3$
Теперь умножим число 60 на полученную десятичную дробь:
$60 \times 0.3 = 18$
Другой способ — составить пропорцию. Примем число 60 за 100%, а искомое значение за $x$. Тогда:
$60 \text{ — } 100\%$
$x \text{ — } 30\%$
Из пропорции $\frac{60}{100} = \frac{x}{30}$ находим $x$:
$x = \frac{60 \times 30}{100} = \frac{1800}{100} = 18$
Ответ: 18

2) В этой задаче нам дано значение части числа (60) и указан процент (30%), который эта часть составляет от целого. Нам нужно найти целое число. Обозначим искомое число за $x$.
Из условия следует, что 30% от $x$ равно 60. Запишем это в виде уравнения, предварительно переведя проценты в десятичную дробь ($30\% = 0.3$):
$0.3 \times x = 60$
Чтобы найти $x$, разделим 60 на 0.3:
$x = \frac{60}{0.3}$
Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:
$x = \frac{60 \times 10}{0.3 \times 10} = \frac{600}{3} = 200$
Также можно решить задачу с помощью пропорции. Если 60 — это 30%, то искомое число $x$ — это 100%:
$60 \text{ — } 30\%$
$x \text{ — } 100\%$
Из пропорции $\frac{60}{30} = \frac{x}{100}$ находим $x$:
$x = \frac{60 \times 100}{30} = 2 \times 100 = 200$
Ответ: 200

Найти произведение многочлена и одночлена (422–424).

422. 1) $2(3a^2 - 4a + 8);$ 2) $(-\frac{1}{3})(m - n + p);$

3) $(3a - 5b + bc)(-3);$ 4) $(-5)(3x^3 + 7x^2 - x).$

1) Чтобы найти произведение одночлена $2$ и многочлена $(3a^2 - 4a + 8)$, необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена, используя распределительное свойство умножения, и затем сложить полученные произведения.

Выполним умножение по шагам:

$2 \cdot (3a^2 - 4a + 8) = 2 \cdot 3a^2 + 2 \cdot (-4a) + 2 \cdot 8$

Вычисляем каждое произведение:

$2 \cdot 3a^2 = 6a^2$

$2 \cdot (-4a) = -8a$

$2 \cdot 8 = 16$

Складываем результаты:

$6a^2 - 8a + 16$

Ответ: $6a^2 - 8a + 16$

2) Умножим одночлен $(-\frac{1}{3})$ на каждый член многочлена $(m - n + p)$.

Применим распределительное свойство умножения:

$(-\frac{1}{3}) \cdot (m - n + p) = (-\frac{1}{3}) \cdot m + (-\frac{1}{3}) \cdot (-n) + (-\frac{1}{3}) \cdot p$

Вычисляем каждое произведение:

$(-\frac{1}{3}) \cdot m = -\frac{1}{3}m$

$(-\frac{1}{3}) \cdot (-n) = \frac{1}{3}n$

$(-\frac{1}{3}) \cdot p = -\frac{1}{3}p$

Складываем результаты:

$-\frac{1}{3}m + \frac{1}{3}n - \frac{1}{3}p$

Ответ: $-\frac{1}{3}m + \frac{1}{3}n - \frac{1}{3}p$

3) Чтобы найти произведение многочлена $(3a - 5b + bc)$ и одночлена $(-3)$, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен.

Выполним умножение:

$(3a - 5b + bc) \cdot (-3) = 3a \cdot (-3) + (-5b) \cdot (-3) + bc \cdot (-3)$

Вычисляем каждое произведение:

$3a \cdot (-3) = -9a$

$(-5b) \cdot (-3) = 15b$

$bc \cdot (-3) = -3bc$

Складываем результаты:

$-9a + 15b - 3bc$

Ответ: $-9a + 15b - 3bc$

4) Умножим одночлен $(-5)$ на каждый член многочлена $(3x^3 + 7x^2 - x)$.

Применим распределительное свойство умножения:

$(-5) \cdot (3x^3 + 7x^2 - x) = (-5) \cdot 3x^3 + (-5) \cdot 7x^2 + (-5) \cdot (-x)$

Вычисляем каждое произведение:

$(-5) \cdot 3x^3 = -15x^3$

$(-5) \cdot 7x^2 = -35x^2$

$(-5) \cdot (-x) = 5x$

Складываем результаты:

$-15x^3 - 35x^2 + 5x$

Ответ: $-15x^3 - 35x^2 + 5x$

423. 1) $7ab(2a + 3b);$

2) $5a^2b(15b + 3);$

3) $3xy^2(xy - 2x^2).$

1) Чтобы раскрыть скобки в выражении $7ab(2a + 3b)$, необходимо умножить одночлен $7ab$ на каждый член многочлена, находящегося в скобках, то есть на $2a$ и на $3b$. Это делается на основе распределительного закона умножения.

Сначала умножим $7ab$ на $2a$:
$7ab \cdot 2a = (7 \cdot 2) \cdot (a \cdot a) \cdot b = 14a^2b$.

Затем умножим $7ab$ на $3b$:
$7ab \cdot 3b = (7 \cdot 3) \cdot a \cdot (b \cdot b) = 21ab^2$.

Теперь сложим полученные произведения:
$14a^2b + 21ab^2$.

Ответ: $14a^2b + 21ab^2$

2) Для раскрытия скобок в выражении $5a^2b(15b + 3)$ применим тот же распределительный закон. Умножим одночлен $5a^2b$ на каждый из членов в скобках.

Умножим $5a^2b$ на $15b$:
$5a^2b \cdot 15b = (5 \cdot 15) \cdot a^2 \cdot (b \cdot b) = 75a^2b^2$.

Умножим $5a^2b$ на $3$:
$5a^2b \cdot 3 = (5 \cdot 3) \cdot a^2b = 15a^2b$.

Сложим полученные результаты:
$75a^2b^2 + 15a^2b$.

Ответ: $75a^2b^2 + 15a^2b$

3) Чтобы раскрыть скобки в выражении $3xy^2(xy - 2x^2)$, умножим одночлен $3xy^2$ на каждый член многочлена в скобках, то есть на $xy$ и на $-2x^2$.

Умножим $3xy^2$ на $xy$:
$3xy^2 \cdot xy = 3 \cdot (x \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y) = 3x^2y^3$.

Умножим $3xy^2$ на $-2x^2$:
$3xy^2 \cdot (-2x^2) = (3 \cdot -2) \cdot (x \cdot x^2) \cdot y^2 = -6x^3y^2$.

Запишем результат, объединив полученные члены:
$3x^2y^3 - 6x^3y^2$.

Ответ: $3x^2y^3 - 6x^3y^2$

424. 1) $17a(5a + 6b - 3ab)$;

2) $8ab(2b - 3ac + c^2)$;

3) $3x^2y(5x + 6y + 7z)$;

4) $xyz(x^2 + 2y^2 + 3z^2)$.

1) Чтобы раскрыть скобки в выражении $17a(5a + 6b - 3ab)$, необходимо умножить одночлен $17a$ на каждый член многочлена, стоящего в скобках, используя распределительное свойство умножения.

Умножим $17a$ на $5a$: $17a \cdot 5a = (17 \cdot 5) \cdot (a \cdot a) = 85a^2$.

Умножим $17a$ на $6b$: $17a \cdot 6b = (17 \cdot 6) \cdot (a \cdot b) = 102ab$.

Умножим $17a$ на $-3ab$: $17a \cdot (-3ab) = (17 \cdot -3) \cdot (a \cdot a \cdot b) = -51a^2b$.

Сложим полученные результаты: $85a^2 + 102ab - 51a^2b$.

Ответ: $85a^2 + 102ab - 51a^2b$.

2) Для раскрытия скобок в выражении $8ab(2b - 3ac + c^2)$ умножим $8ab$ на каждый член в скобках.

Умножим $8ab$ на $2b$: $8ab \cdot 2b = (8 \cdot 2) \cdot a \cdot (b \cdot b) = 16ab^2$.

Умножим $8ab$ на $-3ac$: $8ab \cdot (-3ac) = (8 \cdot -3) \cdot (a \cdot a) \cdot b \cdot c = -24a^2bc$.

Умножим $8ab$ на $c^2$: $8ab \cdot c^2 = 8abc^2$.

Объединим полученные члены: $16ab^2 - 24a^2bc + 8abc^2$.

Ответ: $16ab^2 - 24a^2bc + 8abc^2$.

3) Раскроем скобки в выражении $3x^2y(5x + 6y + 7z)$, умножив множитель перед скобками на каждый член внутри скобок.

Первое умножение: $3x^2y \cdot 5x = (3 \cdot 5) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y = 15x^3y$.

Второе умножение: $3x^2y \cdot 6y = (3 \cdot 6) \cdot x^2 \cdot (y \cdot y) = 18x^2y^2$.

Третье умножение: $3x^2y \cdot 7z = (3 \cdot 7) \cdot x^2 \cdot y \cdot z = 21x^2yz$.

Результат сложения: $15x^3y + 18x^2y^2 + 21x^2yz$.

Ответ: $15x^3y + 18x^2y^2 + 21x^2yz$.

4) Раскроем скобки в выражении $xyz(x^2 + 2y^2 + 3z^2)$, применив распределительное свойство.

Умножим $xyz$ на $x^2$: $xyz \cdot x^2 = (x \cdot x^2) \cdot yz = x^3yz$.

Умножим $xyz$ на $2y^2$: $xyz \cdot 2y^2 = 2x \cdot (y \cdot y^2) \cdot z = 2xy^3z$.

Умножим $xyz$ на $3z^2$: $xyz \cdot 3z^2 = 3xy \cdot (z \cdot z^2) = 3xyz^3$.

Сложим полученные одночлены: $x^3yz + 2xy^3z + 3xyz^3$.

Ответ: $x^3yz + 2xy^3z + 3xyz^3$.

Упростить выражение (425–426).

425.

1) $6(2t - 3n) - 3(3t - 2n);$

2) $5(a - b) - 4(2a - 3b);$

3) $-2(3x - 2y) - 5(2y - 3x);$

4) $7(4p + 3) - 6(5 + 7p).$

1) Для упрощения выражения $6(2t - 3n) - 3(3t - 2n)$ необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Сначала раскроем скобки, умножив множитель перед каждой скобкой на все члены внутри нее:
$6 \cdot 2t + 6 \cdot (-3n) - 3 \cdot 3t - 3 \cdot (-2n) = 12t - 18n - 9t + 6n$.
Теперь сгруппируем подобные члены (члены с одинаковой переменной):
$(12t - 9t) + (-18n + 6n)$.
Выполним вычисления в каждой группе:
$3t - 12n$.
Ответ: $3t - 12n$.

2) Для упрощения выражения $5(a - b) - 4(2a - 3b)$ раскроем скобки:
$5 \cdot a + 5 \cdot (-b) - 4 \cdot 2a - 4 \cdot (-3b) = 5a - 5b - 8a + 12b$.
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(5a - 8a) + (-5b + 12b)$.
Выполним вычисления:
$-3a + 7b$.
Ответ: $-3a + 7b$.

3) Для упрощения выражения $-2(3x - 2y) - 5(2y - 3x)$ раскроем скобки, обращая внимание на знаки:
$-2 \cdot 3x - 2 \cdot (-2y) - 5 \cdot 2y - 5 \cdot (-3x) = -6x + 4y - 10y + 15x$.
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(-6x + 15x) + (4y - 10y)$.
Выполним вычисления:
$9x - 6y$.
Ответ: $9x - 6y$.

4) Для упрощения выражения $7(4p + 3) - 6(5 + 7p)$ раскроем скобки:
$7 \cdot 4p + 7 \cdot 3 - 6 \cdot 5 - 6 \cdot 7p = 28p + 21 - 30 - 42p$.
Сгруппируем подобные слагаемые (члены с переменной $p$ и константы):
$(28p - 42p) + (21 - 30)$.
Выполним вычисления:
$-14p - 9$.
Ответ: $-14p - 9$.

426. 1) $(x^2 - 1) \cdot 3x - (x^2 - 2) \cdot 2x;$

2) $(4a^2 - 3b) \cdot 2b - (3a^2 - 4b) \cdot 3b;$

3) $\frac{2}{3}x(3 - 6x) + 4x(x - 1);$

4) $(a - 15b) \cdot \frac{4}{5}a - 3(\frac{1}{5}a^2 + 2ab).$

1) Чтобы упростить данное выражение, сначала раскроем скобки. Для этого умножим каждый член многочлена в скобках на одночлен, стоящий за скобками.
Умножим $(x^2 - 1)$ на $3x$:
$(x^2 - 1) \cdot 3x = x^2 \cdot 3x - 1 \cdot 3x = 3x^3 - 3x$.
Теперь умножим $(x^2 - 2)$ на $2x$:
$(x^2 - 2) \cdot 2x = x^2 \cdot 2x - 2 \cdot 2x = 2x^3 - 4x$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(3x^3 - 3x) - (2x^3 - 4x)$.
Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, знаки всех членов внутри скобок изменятся на противоположные:
$3x^3 - 3x - 2x^3 + 4x$.
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(3x^3 - 2x^3) + (-3x + 4x) = x^3 + x$.
Ответ: $x^3 + x$

2) Упростим выражение, раскрыв скобки путем умножения многочленов на одночлены.
Умножим $(4a^2 - 3b)$ на $2b$:
$(4a^2 - 3b) \cdot 2b = 4a^2 \cdot 2b - 3b \cdot 2b = 8a^2b - 6b^2$.
Умножим $(3a^2 - 4b)$ на $3b$:
$(3a^2 - 4b) \cdot 3b = 3a^2 \cdot 3b - 4b \cdot 3b = 9a^2b - 12b^2$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(8a^2b - 6b^2) - (9a^2b - 12b^2)$.
Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:
$8a^2b - 6b^2 - 9a^2b + 12b^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(8a^2b - 9a^2b) + (-6b^2 + 12b^2) = -a^2b + 6b^2$.
Для удобства записи можно поменять слагаемые местами.
Ответ: $6b^2 - a^2b$

3) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Умножим $\frac{2}{3}x$ на $(3 - 6x)$:
$\frac{2}{3}x(3 - 6x) = \frac{2}{3}x \cdot 3 - \frac{2}{3}x \cdot 6x = \frac{6}{3}x - \frac{12}{3}x^2 = 2x - 4x^2$.
Умножим $4x$ на $(x - 1)$:
$4x(x - 1) = 4x \cdot x - 4x \cdot 1 = 4x^2 - 4x$.
Сложим полученные выражения:
$(2x - 4x^2) + (4x^2 - 4x)$.
Так как перед вторыми скобками стоит знак плюс, мы можем просто убрать скобки:
$2x - 4x^2 + 4x^2 - 4x$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-4x^2 + 4x^2) + (2x - 4x) = 0 - 2x = -2x$.
Ответ: $-2x$

4) Раскроем скобки и упростим выражение.
Сначала умножим $(a - 15b)$ на $\frac{4}{5}a$:
$(a - 15b) \cdot \frac{4}{5}a = a \cdot \frac{4}{5}a - 15b \cdot \frac{4}{5}a = \frac{4}{5}a^2 - \frac{15 \cdot 4}{5}ab = \frac{4}{5}a^2 - 3 \cdot 4ab = \frac{4}{5}a^2 - 12ab$.
Теперь раскроем вторые скобки, умножив $(\frac{1}{5}a^2 + 2ab)$ на $-3$:
$-3(\frac{1}{5}a^2 + 2ab) = -3 \cdot \frac{1}{5}a^2 - 3 \cdot 2ab = -\frac{3}{5}a^2 - 6ab$.
Сложим полученные результаты:
$(\frac{4}{5}a^2 - 12ab) + (-\frac{3}{5}a^2 - 6ab) = \frac{4}{5}a^2 - 12ab - \frac{3}{5}a^2 - 6ab$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(\frac{4}{5}a^2 - \frac{3}{5}a^2) + (-12ab - 6ab) = \frac{1}{5}a^2 - 18ab$.
Ответ: $\frac{1}{5}a^2 - 18ab$

427. Найти значение алгебраического выражения:

1) $7(4a+3b)-6(5a+7b)$ при $a=2, b=-3;$

2) $a(2b+1)-b(2a-1)$ при $a=10, b=-5;$

3) $3ab(4a^2-b^2)+4ab(b^2-3a^2)$ при $a=10, b=-5;$

4) $4a^2(5a-3b)-5a^2(4a+b)$ при $a=-2, b=-3.$

1) Сначала упростим данное алгебраическое выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. $7(4a+3b) - 6(5a+7b) = 7 \cdot 4a + 7 \cdot 3b - 6 \cdot 5a - 6 \cdot 7b = 28a + 21b - 30a - 42b$. Сгруппируем подобные члены: $(28a - 30a) + (21b - 42b) = -2a - 21b$. Теперь подставим в полученное выражение значения $a=2$ и $b=-3$: $-2a - 21b = -2 \cdot (2) - 21 \cdot (-3) = -4 - (-63) = -4 + 63 = 59$. Ответ: 59

2) Упростим выражение, раскрыв скобки: $a(2b+1) - b(2a-1) = a \cdot 2b + a \cdot 1 - b \cdot 2a - b \cdot (-1) = 2ab + a - 2ab + b$. Приведем подобные слагаемые: $(2ab - 2ab) + a + b = a + b$. Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a=10$ и $b=-5$: $a + b = 10 + (-5) = 10 - 5 = 5$. Ответ: 5

3) Упростим выражение, раскрыв скобки: $3ab(4a^2 - b^2) + 4ab(b^2 - 3a^2) = 3ab \cdot 4a^2 - 3ab \cdot b^2 + 4ab \cdot b^2 - 4ab \cdot 3a^2 = 12a^3b - 3ab^3 + 4ab^3 - 12a^3b$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(12a^3b - 12a^3b) + (-3ab^3 + 4ab^3) = 0 + ab^3 = ab^3$. Подставим в полученное выражение значения $a=10$ и $b=-5$: $ab^3 = 10 \cdot (-5)^3 = 10 \cdot (-125) = -1250$. Ответ: -1250

4) Упростим выражение, раскрыв скобки: $4a^2(5a - 3b) - 5a^2(4a + b) = 4a^2 \cdot 5a - 4a^2 \cdot 3b - 5a^2 \cdot 4a - 5a^2 \cdot b = 20a^3 - 12a^2b - 20a^3 - 5a^2b$. Приведем подобные слагаемые: $(20a^3 - 20a^3) + (-12a^2b - 5a^2b) = 0 - 17a^2b = -17a^2b$. Подставим в упрощенное выражение значения $a=-2$ и $b=-3$: $-17a^2b = -17 \cdot (-2)^2 \cdot (-3) = -17 \cdot 4 \cdot (-3) = -68 \cdot (-3) = 204$. Ответ: 204

428. Решить уравнение:

1) $3(x-1)-2(3-7x)=2(x-2)$;

2) $10(1-2x)=5(2x-3)-3(11x-5)$;

3) $1,3(x-0,7)-0,12(x+10)-5x=-9,75$;

4) $2,5(0,2+x)-0,5(x-0,7)-0,2x=0,5$.

1) $3(x-1)-2(3-7x)=2(x-2)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножая число перед скобкой на каждый член внутри скобки:

$3 \cdot x + 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 3 - 2 \cdot (-7x) = 2 \cdot x + 2 \cdot (-2)$

$3x - 3 - 6 + 14x = 2x - 4$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения (сложим члены с $x$ и числовые члены):

$(3x + 14x) + (-3 - 6) = 2x - 4$

$17x - 9 = 2x - 4$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знак на противоположный при переносе:

$17x - 2x = -4 + 9$

$15x = 5$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 15:

$x = \frac{5}{15}$

Сократим дробь:

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

2) $10(1-2x)=5(2x-3)-3(11x-5)$

Раскроем все скобки в уравнении:

$10 \cdot 1 + 10 \cdot (-2x) = 5 \cdot 2x + 5 \cdot (-3) - 3 \cdot 11x - 3 \cdot (-5)$

$10 - 20x = 10x - 15 - 33x + 15$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$10 - 20x = (10x - 33x) + (-15 + 15)$

$10 - 20x = -23x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну часть (например, в левую), а числа — в другую (в правую):

$23x - 20x = -10$

$3x = -10$

Найдем $x$, разделив обе части на 3:

$x = -\frac{10}{3}$

Ответ: $-\frac{10}{3}$

3) $1,3(x-0,7)-0,12(x+10)-5x=-9,75$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$1,3 \cdot x + 1,3 \cdot (-0,7) - 0,12 \cdot x - 0,12 \cdot 10 - 5x = -9,75$

$1,3x - 0,91 - 0,12x - 1,2 - 5x = -9,75$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:

$(1,3x - 0,12x - 5x) + (-0,91 - 1,2) = -9,75$

$(1,18x - 5x) - 2,11 = -9,75$

$-3,82x - 2,11 = -9,75$

Перенесем число -2,11 в правую часть с противоположным знаком:

$-3,82x = -9,75 + 2,11$

$-3,82x = -7,64$

Разделим обе части на -3,82, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-7,64}{-3,82}$

$x = 2$

Ответ: 2

4) $2,5(0,2+x)-0,5(x-0,7)-0,2x=0,5$

Раскроем скобки:

$2,5 \cdot 0,2 + 2,5 \cdot x - 0,5 \cdot x - 0,5 \cdot (-0,7) - 0,2x = 0,5$

$0,5 + 2,5x - 0,5x + 0,35 - 0,2x = 0,5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2,5x - 0,5x - 0,2x) + (0,5 + 0,35) = 0,5$

$(2x - 0,2x) + 0,85 = 0,5$

$1,8x + 0,85 = 0,5$

Перенесем 0,85 в правую часть с противоположным знаком:

$1,8x = 0,5 - 0,85$

$1,8x = -0,35$

Найдем $x$:

$x = \frac{-0,35}{1,8}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{-0,35 \cdot 100}{1,8 \cdot 100} = \frac{-35}{180}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:

$x = -\frac{35 \div 5}{180 \div 5} = -\frac{7}{36}$

Ответ: $-\frac{7}{36}$

429. При каком значении x равны значения выражений:

1) $\frac{1}{2}(x - 7) + 1$ и $\frac{3(1 - x)}{4}$;

2) $\frac{2}{5}(3 - 2x)$ и $\frac{3(1 + 3x)}{10} - \frac{4}{5}$;

3) $\frac{1}{3}(x + 2)$ и $\frac{2x - 1}{3}$;

4) $\frac{2 - 3x}{4}$ и $\frac{3(x + 1)}{8} - 1$?

Чтобы найти значение x, при котором значения выражений равны, нужно приравнять эти выражения и решить полученное уравнение.

1) Приравняем выражения $\frac{1}{2}(x-7)+1$ и $\frac{3(1-x)}{4}$:

$\frac{1}{2}(x-7)+1 = \frac{3(1-x)}{4}$

Раскроем скобки и упростим левую часть:

$\frac{1}{2}x - \frac{7}{2} + 1 = \frac{3-3x}{4}$

$\frac{x}{2} - \frac{7}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3-3x}{4}$

$\frac{x-5}{2} = \frac{3-3x}{4}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 4:

$4 \cdot \frac{x-5}{2} = 4 \cdot \frac{3-3x}{4}$

$2(x-5) = 3-3x$

$2x - 10 = 3 - 3x$

Перенесем слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую:

$2x + 3x = 3 + 10$

$5x = 13$

$x = \frac{13}{5}$

$x = 2,6$

Ответ: $x = 2,6$.

2) Приравняем выражения $\frac{2}{5}(3-2x)$ и $\frac{3(1+3x)}{10} - \frac{4}{5}$:

$\frac{2}{5}(3-2x) = \frac{3(1+3x)}{10} - \frac{4}{5}$

Раскроем скобки в левой части и в числителе правой части:

$\frac{6-4x}{5} = \frac{3+9x}{10} - \frac{4}{5}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 10:

$10 \cdot \frac{6-4x}{5} = 10 \cdot (\frac{3+9x}{10} - \frac{4}{5})$

$2(6-4x) = (3+9x) - 10 \cdot \frac{4}{5}$

$12 - 8x = 3+9x - 8$

$12 - 8x = 9x - 5$

Перенесем слагаемые с x в правую часть, а числа — в левую:

$12 + 5 = 9x + 8x$

$17 = 17x$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

3) Приравняем выражения $\frac{1}{3}(x+2)$ и $\frac{2x-1}{3}$:

$\frac{1}{3}(x+2) = \frac{2x-1}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$x+2 = 2x-1$

Перенесем слагаемые с x в правую часть, а числа — в левую:

$2+1 = 2x-x$

$3 = x$

Ответ: $x = 3$.

4) Приравняем выражения $\frac{2-3x}{4}$ и $\frac{3(x+1)}{8}-1$:

$\frac{2-3x}{4} = \frac{3(x+1)}{8}-1$

Приведем правую часть к общему знаменателю 8:

$\frac{2-3x}{4} = \frac{3(x+1)}{8} - \frac{8}{8}$

$\frac{2-3x}{4} = \frac{3x+3-8}{8}$

$\frac{2-3x}{4} = \frac{3x-5}{8}$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 8:

$8 \cdot \frac{2-3x}{4} = 8 \cdot \frac{3x-5}{8}$

$2(2-3x) = 3x-5$

$4-6x = 3x-5$

Перенесем слагаемые с x в правую часть, а числа — в левую:

$4+5 = 3x+6x$

$9 = 9x$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

430. Во второй день турист прошёл путь, равный $90\%$ того, что он прошёл в первый день, и после небольшого отдыха прошёл ещё 2 км. В третий день он прошёл путь, равный $40\%$ того, что было пройдено за первые два дня. Какое расстояние проходил турист ежедневно, если за три дня он прошёл 56 км?

Обозначим расстояние, которое турист прошёл в первый день, как $x$ км.

Исходя из условий задачи, выразим расстояние, пройденное во второй и третий дни, через $x$.

Во второй день турист прошёл 90% пути первого дня и ещё 2 км.
Чтобы найти 90% от $x$, нужно умножить $x$ на 0,9.
Расстояние за второй день: $0.9x + 2$ км.

В третий день турист прошёл 40% от пути, пройденного за первые два дня.
Сначала найдём путь за первые два дня, сложив расстояние за первый и второй дни:
$x + (0.9x + 2) = 1.9x + 2$ км.
Теперь найдём 40% от этой суммы, умножив её на 0,4:
Расстояние за третий день: $0.4 \times (1.9x + 2)$ км.

Общее расстояние за три дня составляет 56 км. Мы можем составить уравнение, сложив расстояния за все три дня:
(Расстояние за 1-й день) + (Расстояние за 2-й день) + (Расстояние за 3-й день) = 56
$x + (0.9x + 2) + 0.4 \times (1.9x + 2) = 56$

Теперь решим это уравнение:
Сначала объединим выражения для первых двух дней:
$(1.9x + 2) + 0.4(1.9x + 2) = 56$
Раскроем скобки:
$1.9x + 2 + 0.4 \times 1.9x + 0.4 \times 2 = 56$
$1.9x + 2 + 0.76x + 0.8 = 56$
Сгруппируем подобные слагаемые (переменные с переменными, числа с числами):
$(1.9x + 0.76x) + (2 + 0.8) = 56$
$2.66x + 2.8 = 56$
Перенесём 2.8 в правую часть уравнения, изменив знак:
$2.66x = 56 - 2.8$
$2.66x = 53.2$
Найдём $x$:
$x = \frac{53.2}{2.66}$
$x = 20$

Таким образом, расстояние, которое турист прошёл в первый день, равно 20 км.

Теперь вычислим расстояния для остальных дней:

Расстояние за второй день:
$0.9x + 2 = 0.9 \times 20 + 2 = 18 + 2 = 20$ км.

Расстояние за третий день:
Сумма за первые два дня: $20 + 20 = 40$ км.
$0.4 \times 40 = 16$ км.

Проверим, сходится ли общая сумма: $20 \text{ км} + 20 \text{ км} + 16 \text{ км} = 56$ км. Всё верно.

Ответ: в первый день турист прошёл 20 км, во второй день — 20 км, а в третий — 16 км.