Страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

467. Выполнить сложение и вычитание многочленов:

1) $\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}b\right)-\left(\frac{5}{2}a-\frac{2}{3}b\right)+(a+b)$;

2) $(0,3a-1,2b)+(a-b)-(1,3a-0,2b)$;

3) $11p^3-2p^2-(p^3-p^2)+(-5p^2-3p^3)$;

4) $5x^2+5x^3+(x^3-x^2)-(-2x^3+4x^2)$.

1)

Упростим выражение $(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b) - (\frac{5}{2}a - \frac{2}{3}b) + (a + b)$.

Сначала раскроем скобки. Знак «минус» перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные.

$\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b - \frac{5}{2}a + \frac{2}{3}b + a + b$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые (члены с $a$ и члены с $b$):

$(\frac{1}{2}a - \frac{5}{2}a + a) + (\frac{1}{3}b + \frac{2}{3}b + b)$

Выполним действия с коэффициентами в каждой группе:

Для $a$: $(\frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 1)a = (\frac{1 - 5}{2} + 1)a = (-2 + 1)a = -a$.

Для $b$: $(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 1)b = (\frac{1 + 2}{3} + 1)b = (1 + 1)b = 2b$.

Объединяем полученные результаты: $-a + 2b$.

Ответ: $-a + 2b$

2)

Упростим выражение $(0,3a - 1,2b) + (a - b) - (1,3a - 0,2b)$.

Раскроем скобки, учитывая знаки перед ними:

$0,3a - 1,2b + a - b - 1,3a + 0,2b$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(0,3a + a - 1,3a) + (-1,2b - b + 0,2b)$

Приведем подобные, выполнив действия с коэффициентами:

Для $a$: $(0,3 + 1 - 1,3)a = (1,3 - 1,3)a = 0 \cdot a = 0$.

Для $b$: $(-1,2 - 1 + 0,2)b = (-2,2 + 0,2)b = -2b$.

Результат сложения: $0 - 2b = -2b$.

Ответ: $-2b$

3)

Упростим выражение $11p^3 - 2p^2 - (p^3 - p^2) + (-5p^2 - 3p^3)$.

Раскроем скобки:

$11p^3 - 2p^2 - p^3 + p^2 - 5p^2 - 3p^3$

Сгруппируем подобные слагаемые по степеням переменной $p$:

$(11p^3 - p^3 - 3p^3) + (-2p^2 + p^2 - 5p^2)$

Приведем подобные слагаемые:

Для $p^3$: $(11 - 1 - 3)p^3 = 7p^3$.

Для $p^2$: $(-2 + 1 - 5)p^2 = -6p^2$.

Объединяем члены многочлена.

Ответ: $7p^3 - 6p^2$

4)

Упростим выражение $5x^2 + 5x^3 + (x^3 - x^2) - (-2x^3 + 4x^2)$.

Раскроем скобки:

$5x^2 + 5x^3 + x^3 - x^2 - (-2x^3) - (4x^2) = 5x^2 + 5x^3 + x^3 - x^2 + 2x^3 - 4x^2$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(5x^3 + x^3 + 2x^3) + (5x^2 - x^2 - 4x^2)$

Приведем подобные слагаемые:

Для $x^3$: $(5 + 1 + 2)x^3 = 8x^3$.

Для $x^2$: $(5 - 1 - 4)x^2 = 0 \cdot x^2 = 0$.

Результат сложения: $8x^3 + 0 = 8x^3$.

Ответ: $8x^3$

468. Выполнить умножение многочлена на одночлен:

1) $(\frac{1}{2}a^3b^2 - \frac{3}{4}ab^4)\frac{4}{3}a^3b;$

2) $(\frac{2}{3}a^2b^4 + \frac{1}{2}a^3b)\frac{3}{2}ab^3;$

3) $(1\frac{4}{7}a^3x^3 - 2\frac{3}{4}a^2x^3 - 11ax^4)(-2\frac{6}{11}ax^6);$

4) $(-2\frac{4}{9}b^6y + 2\frac{1}{5}b^3y^2 - 11by^5)(-2\frac{1}{22}b^4y^5).$

Чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить. Используем распределительное свойство умножения.
$(\frac{1}{2}a^3b^2 - \frac{3}{4}ab^4) \cdot \frac{4}{3}a^3b = (\frac{1}{2}a^3b^2) \cdot (\frac{4}{3}a^3b) - (\frac{3}{4}ab^4) \cdot (\frac{4}{3}a^3b)$.
Выполним умножение для каждого члена, перемножая числовые коэффициенты и складывая показатели степеней у одинаковых оснований:
$ = (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}) \cdot a^{3+3} \cdot b^{2+1} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}) \cdot a^{1+3} \cdot b^{4+1}$
$ = \frac{4}{6}a^6b^3 - \frac{12}{12}a^4b^5$
Сократим дроби и получим окончательный результат:
$ = \frac{2}{3}a^6b^3 - a^4b^5$.
Ответ: $\frac{2}{3}a^6b^3 - a^4b^5$

Применим распределительное свойство для умножения многочлена $(\frac{2}{3}a^2b^4 + \frac{1}{2}a^3b)$ на одночлен $\frac{3}{2}ab^3$:
$(\frac{2}{3}a^2b^4 + \frac{1}{2}a^3b) \cdot \frac{3}{2}ab^3 = (\frac{2}{3}a^2b^4) \cdot (\frac{3}{2}ab^3) + (\frac{1}{2}a^3b) \cdot (\frac{3}{2}ab^3)$.
Перемножим коэффициенты и соответствующие переменные:
$ = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) \cdot a^{2+1} \cdot b^{4+3} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}) \cdot a^{3+1} \cdot b^{1+3}$
$ = \frac{6}{6}a^3b^7 + \frac{3}{4}a^4b^4$
Упростим коэффициенты:
$ = a^3b^7 + \frac{3}{4}a^4b^4$.
Ответ: $a^3b^7 + \frac{3}{4}a^4b^4$

Для выполнения умножения $(1\frac{4}{7}a^3x^3 - 2\frac{3}{4}a^2x^3 - 11ax^4) \cdot (-2\frac{6}{11}ax^6)$ сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$;
$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$;
$-2\frac{6}{11} = -\frac{2 \cdot 11 + 6}{11} = -\frac{28}{11}$.
Теперь выражение имеет вид: $(\frac{11}{7}a^3x^3 - \frac{11}{4}a^2x^3 - 11ax^4) \cdot (-\frac{28}{11}ax^6)$.
Применим распределительный закон, умножая каждый член многочлена на одночлен:
$ = (\frac{11}{7}a^3x^3) \cdot (-\frac{28}{11}ax^6) + (-\frac{11}{4}a^2x^3) \cdot (-\frac{28}{11}ax^6) + (-11ax^4) \cdot (-\frac{28}{11}ax^6)$
$ = -(\frac{11 \cdot 28}{7 \cdot 11})a^{3+1}x^{3+6} + (\frac{11 \cdot 28}{4 \cdot 11})a^{2+1}x^{3+6} + (\frac{11 \cdot 28}{11})a^{1+1}x^{4+6}$
Сократим дроби и вычислим:
$ = -(\frac{28}{7})a^4x^9 + (\frac{28}{4})a^3x^9 + 28a^2x^{10}$
$ = -4a^4x^9 + 7a^3x^9 + 28a^2x^{10}$.
Ответ: $-4a^4x^9 + 7a^3x^9 + 28a^2x^{10}$

Для решения примера $(-2\frac{4}{9}b^6y + 2\frac{1}{5}b^3y^2 - 11by^5) \cdot (-2\frac{1}{22}b^4y^5)$ преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$-2\frac{4}{9} = -\frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = -\frac{22}{9}$;
$2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$;
$-2\frac{1}{22} = -\frac{2 \cdot 22 + 1}{22} = -\frac{45}{22}$.
Подставим дроби в исходное выражение: $(-\frac{22}{9}b^6y + \frac{11}{5}b^3y^2 - 11by^5) \cdot (-\frac{45}{22}b^4y^5)$.
Умножим каждый член многочлена на одночлен:
$ = (-\frac{22}{9}b^6y) \cdot (-\frac{45}{22}b^4y^5) + (\frac{11}{5}b^3y^2) \cdot (-\frac{45}{22}b^4y^5) + (-11by^5) \cdot (-\frac{45}{22}b^4y^5)$
$ = (\frac{22 \cdot 45}{9 \cdot 22})b^{6+4}y^{1+5} - (\frac{11 \cdot 45}{5 \cdot 22})b^{3+4}y^{2+5} + (\frac{11 \cdot 45}{22})b^{1+4}y^{5+5}$
Упростим коэффициенты, сокращая дроби:
$ = (\frac{45}{9})b^{10}y^6 - (\frac{1}{5} \cdot \frac{45}{2})b^7y^7 + (\frac{45}{2})b^5y^{10}$
$ = 5b^{10}y^6 - (\frac{9}{2})b^7y^7 + \frac{45}{2}b^5y^{10}$.
Ответ: $5b^{10}y^6 - \frac{9}{2}b^7y^7 + \frac{45}{2}b^5y^{10}$

Выполнить умножение многочленов (469—470).

469. 1) $(\frac{1}{2}a + 3b)(\frac{1}{2}a - 3b)$; 2) $(0,3 - m)(m + 0,3)$;

3) $(\frac{1}{3}a - 2b)(\frac{1}{3}a + 2b)$;

4) $(0,2a + 0,5x)(0,2a - 0,5x)$.

1) $(\frac{1}{2}a + 3b)(\frac{1}{2}a - 3b)$

Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае $x = \frac{1}{2}a$ и $y = 3b$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\frac{1}{2}a + 3b)(\frac{1}{2}a - 3b) = (\frac{1}{2}a)^2 - (3b)^2$

Теперь возведем каждый член в квадрат:

$(\frac{1}{2}a)^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot a^2 = \frac{1}{4}a^2$

$(3b)^2 = 3^2 \cdot b^2 = 9b^2$

Соединим полученные результаты:

$\frac{1}{4}a^2 - 9b^2$

Ответ: $\frac{1}{4}a^2 - 9b^2$.

2) $(0,3 - m)(m + 0,3)$

Сначала переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(0,3 - m)(0,3 + m)$.

Это выражение соответствует формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = 0,3$ и $y = m$.

Применим формулу:

$(0,3 - m)(0,3 + m) = (0,3)^2 - m^2$

Вычислим квадрат числа 0,3:

$(0,3)^2 = 0,09$

Таким образом, получаем:

$0,09 - m^2$

Ответ: $0,09 - m^2$.

3) $(\frac{1}{3}a - 2b)(\frac{1}{3}a + 2b)$

Данное произведение также является разностью квадратов, для которой используется формула $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В этом выражении $x = \frac{1}{3}a$ и $y = 2b$.

Подставляем в формулу:

$(\frac{1}{3}a - 2b)(\frac{1}{3}a + 2b) = (\frac{1}{3}a)^2 - (2b)^2$

Выполним возведение в квадрат:

$(\frac{1}{3}a)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot a^2 = \frac{1}{9}a^2$

$(2b)^2 = 2^2 \cdot b^2 = 4b^2$

Итоговый результат:

$\frac{1}{9}a^2 - 4b^2$

Ответ: $\frac{1}{9}a^2 - 4b^2$.

4) $(0,2a + 0,5x)(0,2a - 0,5x)$

Это еще один пример на применение формулы разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = 0,2a$ и $y = 0,5x$.

Применяем формулу:

$(0,2a + 0,5x)(0,2a - 0,5x) = (0,2a)^2 - (0,5x)^2$

Возводим в квадрат каждый одночлен:

$(0,2a)^2 = (0,2)^2 \cdot a^2 = 0,04a^2$

$(0,5x)^2 = (0,5)^2 \cdot x^2 = 0,25x^2$

Получаем выражение:

$0,04a^2 - 0,25x^2$

Ответ: $0,04a^2 - 0,25x^2$.

470. 1) $(5c - 4y)(-8c - 2x + 6y);$

2) $(4b - c)(-5b + 3c - 4y);$

3) $(4x - 3y + 2z)(3x - 3y);$

4) $(3a - 3b + 4c)(3a - 5b).$

1) Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

$(5c - 4y)(-8c - 2x + 6y) = 5c \cdot (-8c) + 5c \cdot (-2x) + 5c \cdot (6y) + (-4y) \cdot (-8c) + (-4y) \cdot (-2x) + (-4y) \cdot (6y) = -40c^2 - 10cx + 30cy + 32cy + 8xy - 24y^2$.

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые. В данном выражении подобными являются члены $30cy$ и $32cy$.

$-40c^2 - 10cx + (30cy + 32cy) + 8xy - 24y^2 = -40c^2 - 10cx + 62cy + 8xy - 24y^2$.

Ответ: $-40c^2 - 10cx + 62cy + 8xy - 24y^2$.

2) Выполним умножение многочлена $(4b - c)$ на многочлен $(-5b + 3c - 4y)$.

$(4b - c)(-5b + 3c - 4y) = 4b \cdot (-5b) + 4b \cdot (3c) + 4b \cdot (-4y) - c \cdot (-5b) - c \cdot (3c) - c \cdot (-4y) = -20b^2 + 12bc - 16by + 5bc - 3c^2 + 4cy$.

Приведем подобные слагаемые, которыми являются $12bc$ и $5bc$.

$-20b^2 + (12bc + 5bc) - 16by - 3c^2 + 4cy = -20b^2 + 17bc - 16by - 3c^2 + 4cy$.

Ответ: $-20b^2 - 3c^2 + 17bc - 16by + 4cy$.

3) Выполним умножение многочлена $(4x - 3y + 2z)$ на многочлен $(3x - 3y)$.

$(4x - 3y + 2z)(3x - 3y) = 4x \cdot (3x) + 4x \cdot (-3y) - 3y \cdot (3x) - 3y \cdot (-3y) + 2z \cdot (3x) + 2z \cdot (-3y) = 12x^2 - 12xy - 9xy + 9y^2 + 6xz - 6yz$.

Приведем подобные слагаемые, которыми являются $-12xy$ и $-9xy$.

$12x^2 + (-12xy - 9xy) + 9y^2 + 6xz - 6yz = 12x^2 - 21xy + 9y^2 + 6xz - 6yz$.

Ответ: $12x^2 + 9y^2 - 21xy + 6xz - 6yz$.

4) Выполним умножение многочлена $(3a - 3b + 4c)$ на многочлен $(3a - 5b)$.

$(3a - 3b + 4c)(3a - 5b) = 3a \cdot (3a) + 3a \cdot (-5b) - 3b \cdot (3a) - 3b \cdot (-5b) + 4c \cdot (3a) + 4c \cdot (-5b) = 9a^2 - 15ab - 9ab + 15b^2 + 12ac - 20bc$.

Приведем подобные слагаемые, которыми являются $-15ab$ и $-9ab$.

$9a^2 + (-15ab - 9ab) + 15b^2 + 12ac - 20bc = 9a^2 - 24ab + 15b^2 + 12ac - 20bc$.

Ответ: $9a^2 + 15b^2 - 24ab + 12ac - 20bc$.

471. Упростить выражение:

1) $5x^3 / x - (2x)^2 + x^4 / (2x^2)$;

2) $6x^4 / x - 5x^5 / x^2 + (2x)^3$;

3) $(3x^4 + \frac{1}{3}x^2) / x - x^3 / (3x^2) + (3x)^3$;

4) $(12x^3 - 8x^2) / (4x) - 4x(3x + 0.25)$.

1) $5x^3 : x - (2x)^2 + x^4 : (2x^2)$

Для упрощения выражения выполним действия в соответствии с их приоритетом: сначала возведение в степень и деление, затем сложение и вычитание. Упростим каждый член выражения по отдельности:

Первый член: $5x^3 : x = 5x^{3-1} = 5x^2$

Второй член: $(2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2$

Третий член: $x^4 : (2x^2) = \frac{1}{2}x^{4-2} = \frac{1}{2}x^2 = 0,5x^2$

Теперь подставим упрощенные члены в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$5x^2 - 4x^2 + 0,5x^2 = (5 - 4 + 0,5)x^2 = 1,5x^2$

Ответ: $1,5x^2$

2) $6x^4 : x - 5x^5 : x^2 + (2x)^3$

Упростим каждый член выражения, выполняя действия в правильном порядке:

Первый член: $6x^4 : x = 6x^{4-1} = 6x^3$

Второй член: $5x^5 : x^2 = 5x^{5-2} = 5x^3$

Третий член: $(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$

Подставим полученные значения в выражение и выполним сложение и вычитание:

$6x^3 - 5x^3 + 8x^3 = (6 - 5 + 8)x^3 = 9x^3$

Ответ: $9x^3$

3) $\left(3x^4 + \frac{1}{3}x^2\right) : x - x^3 : (3x^2) + (3x)^3$

Упростим выражение по частям:

1. Разделим многочлен в скобках на одночлен $x$:

$\left(3x^4 + \frac{1}{3}x^2\right) : x = (3x^4 : x) + \left(\frac{1}{3}x^2 : x\right) = 3x^{3} + \frac{1}{3}x$

2. Выполним второе деление:

$x^3 : (3x^2) = \frac{1}{3}x^{3-2} = \frac{1}{3}x$

3. Возведем одночлен в куб:

$(3x)^3 = 3^3 \cdot x^3 = 27x^3$

Теперь соберем все части вместе и приведем подобные слагаемые:

$\left(3x^3 + \frac{1}{3}x\right) - \frac{1}{3}x + 27x^3 = 3x^3 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}x + 27x^3 = (3x^3 + 27x^3) + \left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}x\right) = 30x^3$

Ответ: $30x^3$

4) $(12x^3 - 8x^2) : 4x - 4x(3x + 0,25)$

Упростим выражение по частям, выполняя сначала деление и умножение, а затем вычитание.

1. Выполним деление многочлена на одночлен:

$(12x^3 - 8x^2) : 4x = (12x^3 : 4x) - (8x^2 : 4x) = 3x^{3-1} - 2x^{2-1} = 3x^2 - 2x$

2. Раскроем скобки во второй части выражения, умножив одночлен на многочлен:

$-4x(3x + 0,25) = -(4x \cdot 3x + 4x \cdot 0,25) = -(12x^2 + x) = -12x^2 - x$

Теперь объединим полученные результаты:

$(3x^2 - 2x) + (-12x^2 - x) = 3x^2 - 2x - 12x^2 - x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 12x^2) + (-2x - x) = -9x^2 - 3x$

Ответ: $-9x^2 - 3x$

472. Решить уравнение:

1) $(-2)^3 \cdot x + (0.4)^2 = (-1)^9 - (1 - 2x)$;

2) $(1.2)^2 - (0.1)^2 (20 - 200x) = (1.4)^2$.

1) $(-2)^3 \cdot x + (0,4)^2 = (-1)^9 - (1 - 2x)$

Для решения этого линейного уравнения сначала упростим обе его части, вычислив значения степеней.

Вычислим степени:

• $(-2)^3 = -2 \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
• $(0,4)^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16$
• $(-1)^9 = -1$ (так как нечетная степень отрицательного числа)

Подставим полученные значения в исходное уравнение:

$-8 \cdot x + 0,16 = -1 - (1 - 2x)$

Теперь раскроем скобки в правой части. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$-8x + 0,16 = -1 - 1 + 2x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$-8x + 0,16 = -2 + 2x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$-8x - 2x = -2 - 0,16$

Выполним сложение и вычитание в обеих частях уравнения:

$-10x = -2,16$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -10:

$x = \frac{-2,16}{-10}$

$x = 0,216$

Ответ: $x = 0,216$.

2) $(1,2)^2 - (0,1)^2(20 - 200x) = (1,4)^2$

Как и в предыдущем задании, сначала вычислим значения степеней.

Вычислим степени:

• $(1,2)^2 = 1,2 \cdot 1,2 = 1,44$
• $(0,1)^2 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01$
• $(1,4)^2 = 1,4 \cdot 1,4 = 1,96$

Подставим вычисленные значения в уравнение:

$1,44 - 0,01(20 - 200x) = 1,96$

Теперь раскроем скобки в левой части, умножив 0,01 на каждое слагаемое внутри скобок:

$1,44 - (0,01 \cdot 20 - 0,01 \cdot 200x) = 1,96$

$1,44 - (0,2 - 2x) = 1,96$

Раскроем скобки, учитывая стоящий перед ними знак минус:

$1,44 - 0,2 + 2x = 1,96$

Приведем подобные слагаемые (константы) в левой части:

$1,24 + 2x = 1,96$

Перенесем 1,24 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 1,96 - 1,24$

Выполним вычитание:

$2x = 0,72$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{0,72}{2}$

$x = 0,36$

Ответ: $x = 0,36$.

473. Сколько процентов от числа 500 составляет $5^4$?

Для решения этой задачи нужно выполнить два шага:

1. Найти значение четвёртой степени числа 5. Четвёртая степень числа — это число, умноженное само на себя четыре раза.

$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$

2. Найти, сколько процентов составляет полученное число 625 от числа 500. Для этого составим пропорцию, где 500 — это 100%, а 625 — это искомое количество процентов, обозначенное как $x$.

Формула для нахождения процента одного числа от другого: $(\frac{\text{часть}}{\text{целое}}) \cdot 100\%$

Подставим наши значения:

$(\frac{625}{500}) \cdot 100\% = 1.25 \cdot 100\% = 125\%$

Таким образом, четвёртая степень числа 5 составляет 125% от числа 500.

Ответ: 125%.

474. Четвёртая степень числа 0,2 составляет 64 % числа $a$. Найти число $a$.

Для решения задачи необходимо составить и решить уравнение на основе её условия.

1. Сначала вычислим значение четвёртой степени числа 0,2.

$0,2^4 = 0,2 \times 0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,04 \times 0,04 = 0,0016$

2. Затем представим 64% в виде десятичной дроби. Для этого разделим число процентов на 100.

$64\% = \frac{64}{100} = 0,64$

3. По условию, $0,2^4$ составляет 64% от числа a. Это можно записать в виде уравнения:

$0,64 \times a = 0,2^4$

Подставим в уравнение вычисленное значение $0,2^4$:

$0,64 \times a = 0,0016$

4. Теперь найдём a, разделив обе части уравнения на 0,64.

$a = \frac{0,0016}{0,64}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 10000:

$a = \frac{0,0016 \times 10000}{0,64 \times 10000} = \frac{16}{6400}$

Сократим полученную дробь на 16:

$a = \frac{16 \div 16}{6400 \div 16} = \frac{1}{400}$

Для получения окончательного ответа переведём обыкновенную дробь в десятичную:

$a = 1 \div 400 = 0,0025$

Ответ: 0,0025.

475. Записать выражение в виде степени (n — натуральное число):

1) $a^7 \cdot a^{2n} \cdot a^{3n-2}$;

2) $x^{n+2} \cdot x^8 \cdot x^{4n-1}$;

3) $\frac{a^{6n-4} \cdot a^{4n+1}}{a^{5n-2}}$;

4) $\frac{3^{4n+3} \cdot 3^{3n-2}}{3^{2n-1}}$.

1) Чтобы представить произведение $a^7 \cdot a^{2n} \cdot a^{3n-2}$ в виде степени, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), при умножении степеней их показатели складываются. Основание во всех множителях равно $a$. Сложим показатели степеней:

$7 + 2n + (3n - 2)$

Упростим полученное выражение, сгруппировав слагаемые с переменной $n$ и числовые слагаемые:

$(2n + 3n) + (7 - 2) = 5n + 5$

Таким образом, исходное выражение равно $a^{5n+5}$.

Ответ: $a^{5n+5}$.

2) Для выражения $x^{n+2} \cdot x^8 \cdot x^{4n-1}$ применим то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием, которое в данном случае равно $x$. Сложим показатели степеней:

$(n + 2) + 8 + (4n - 1)$

Теперь упростим сумму показателей, объединив подобные слагаемые:

$(n + 4n) + (2 + 8 - 1) = 5n + 9$

В результате получаем, что исходное выражение можно записать в виде степени $x^{5n+9}$.

Ответ: $x^{5n+9}$.

3) В выражении $\frac{a^{6n-4} \cdot a^{4n+1}}{a^{5n-2}}$ присутствуют как умножение, так и деление степеней с одинаковым основанием $a$. Сначала упростим числитель, воспользовавшись правилом умножения степеней (сложение показателей):

$a^{6n-4} \cdot a^{4n+1} = a^{(6n-4) + (4n+1)} = a^{6n-4+4n+1} = a^{10n-3}$

Теперь выражение принимает вид дроби $\frac{a^{10n-3}}{a^{5n-2}}$. Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$), которое требует вычитания показателя знаменателя из показателя числителя:

$a^{(10n-3) - (5n-2)}$

Раскроем скобки в показателе и приведем подобные слагаемые:

$10n - 3 - 5n + 2 = (10n - 5n) + (-3 + 2) = 5n - 1$

Таким образом, исходное выражение равно $a^{5n-1}$.

Ответ: $a^{5n-1}$.

4) Рассмотрим выражение $\frac{3^{4n+3} \cdot 3^{3n-2}}{3^{2n-1}}$. Здесь основание степени равно 3. Как и в предыдущем примере, сначала упростим числитель, сложив показатели степеней:

$3^{(4n+3) + (3n-2)} = 3^{4n+3+3n-2} = 3^{7n+1}$

Получим дробь $\frac{3^{7n+1}}{3^{2n-1}}$. Теперь, чтобы выполнить деление, вычтем показатель знаменателя из показателя числителя:

$3^{(7n+1) - (2n-1)}$

Упростим выражение в показателе степени:

$7n + 1 - 2n + 1 = (7n - 2n) + (1 + 1) = 5n + 2$

В результате получаем степень $3^{5n+2}$.

Ответ: $3^{5n+2}$.