Страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. На основании какого закона осуществляется действие вынесения общего множителя за скобки?

1.

Действие вынесения общего множителя за скобки осуществляется на основании распределительного закона умножения относительно сложения, который также называют дистрибутивным законом.

Этот закон устанавливает связь между операциями сложения и умножения. В общем виде он формулируется следующим образом: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Математически это записывается так:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Вынесение общего множителя за скобки — это применение распределительного закона в обратном порядке. Мы начинаем с выражения, представляющего собой сумму произведений (правая часть равенства), находим в них общий множитель и представляем это выражение в виде произведения этого множителя на сумму (левая часть равенства).
$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

Пример:
Рассмотрим выражение $15x - 25y$.
Представим каждое слагаемое в виде произведения, выделив общий множитель 5:
$15x = 5 \cdot 3x$
$25y = 5 \cdot 5y$
Тогда исходное выражение можно переписать:
$15x - 25y = 5 \cdot 3x - 5 \cdot 5y$
Теперь, согласно распределительному закону, мы можем вынести общий множитель 5 за скобки:
$5 \cdot (3x - 5y)$

Таким образом, операция вынесения общего множителя является прямым следствием и практическим применением распределительного закона.

Ответ: Действие вынесения общего множителя за скобки осуществляется на основании распределительного (дистрибутивного) закона умножения относительно сложения.

2. Как найти многочлен, остающийся в скобках, после вынесения за скобки общего множителя?

Чтобы найти многочлен, который остается в скобках после вынесения общего множителя, необходимо выполнить простое правило: каждый член исходного многочлена нужно разделить на этот общий множитель. Результаты деления, соединенные знаками «плюс» или «минус» (в соответствии со знаками исходных членов), и образуют искомый многочлен в скобках.

Этот процесс можно представить в виде алгоритма:

1. Найти общий множитель для всех членов исходного многочлена. Общий множитель состоит из наибольшего общего делителя (НОД) числовых коэффициентов и каждой переменной, входящей во все члены, в наименьшей степени.

2. Разделить последовательно каждый член исходного многочлена на найденный общий множитель.

3. Записать полученные частные от деления в скобках, сохраняя между ними исходные знаки.

Рассмотрим этот алгоритм на конкретных примерах.

Пример 1

Возьмем многочлен $12x^4y^2 - 18x^3y^3$.

Шаг 1: Находим общий множитель.

- Для коэффициентов 12 и 18, НОД равен 6.

- Для переменной $x$ (входит в оба члена как $x^4$ и $x^3$), берем наименьшую степень: $x^3$.

- Для переменной $y$ (входит в оба члена как $y^2$ и $y^3$), берем наименьшую степень: $y^2$.

Следовательно, общий множитель: $6x^3y^2$.

Шаг 2: Делим каждый член на общий множитель.

Чтобы найти, что останется в скобках, выполняем деление:

- Делим первый член: $\frac{12x^4y^2}{6x^3y^2} = 2x^{4-3}y^{2-2} = 2x^1y^0 = 2x$.

- Делим второй член: $\frac{-18x^3y^3}{6x^3y^2} = -3x^{3-3}y^{3-2} = -3x^0y^1 = -3y$.

Шаг 3: Записываем результат в скобках.

Многочлен, остающийся в скобках, это $2x - 3y$.

Итоговое выражение: $12x^4y^2 - 18x^3y^3 = 6x^3y^2(2x - 3y)$.

Пример 2

Возьмем выражение, где общий множитель сам является многочленом: $a(b+c) + 3(b+c)$.

Шаг 1: Находим общий множитель.

Здесь общий множитель очевиден — это выражение в скобках $(b+c)$.

Шаг 2: Делим каждый член на общий множитель.

- Делим первый член: $\frac{a(b+c)}{(b+c)} = a$.

- Делим второй член: $\frac{3(b+c)}{(b+c)} = 3$.

Шаг 3: Записываем результат в скобках.

В скобках останется многочлен $a+3$.

Итоговое выражение: $a(b+c) + 3(b+c) = (b+c)(a+3)$.

Ответ: Чтобы найти многочлен, остающийся в скобках после вынесения общего множителя, нужно каждый член исходного многочлена разделить на этот общий множитель.

3. Сформулировать алгоритм разложения многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки.

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки — это тождественное преобразование, при котором многочлен представляется в виде произведения одночлена (общего множителя) и многочлена. Этот метод основан на распределительном свойстве умножения относительно сложения: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Для выполнения разложения используется следующий алгоритм.

Шаг 1. Найти числовую часть общего множителя
Находится наибольший общий делитель (НОД) модулей всех числовых коэффициентов, входящих в состав многочлена. Это число будет являться числовым коэффициентом общего множителя.

Шаг 2. Найти буквенную часть общего множителя
Определяются все переменные, которые входят в каждый член многочлена. Для каждой такой общей переменной выбирается наименьший показатель степени, с которым она присутствует в членах многочлена. Произведение этих переменных в найденных степенях образует буквенную часть общего множителя.

Шаг 3. Сформировать общий множитель
Общий множитель получается путем перемножения числовой части (найденной на шаге 1) и буквенной части (найденной на шаге 2).

Шаг 4. Вынести общий множитель за скобки
Найденный общий множитель записывается перед скобками. Внутри скобок записывается новый многочлен, каждый член которого является результатом деления соответствующего члена исходного многочлена на вынесенный общий множитель. Знаки («+» или «–») между членами в скобках сохраняются.

Шаг 5. Выполнить проверку
Для проверки правильности разложения нужно умножить вынесенный общий множитель на многочлен в скобках. Результат должен совпадать с исходным многочленом.

Пример применения алгоритма
Разложим на множители многочлен $12x^3y^2 - 18x^2y^3 + 30x^2y^2$.
1. Коэффициенты многочлена: 12, -18, 30. Находим $НОД(12, 18, 30) = 6$.
2. Общие переменные: $x$ и $y$. Наименьшая степень для $x$ это $x^2$. Наименьшая степень для $y$ это $y^2$. Буквенная часть общего множителя: $x^2y^2$.
3. Общий множитель равен $6x^2y^2$.
4. Выносим $6x^2y^2$ за скобки. Делим каждый член на $6x^2y^2$:
$\frac{12x^3y^2}{6x^2y^2} = 2x$
$\frac{-18x^2y^3}{6x^2y^2} = -3y$
$\frac{30x^2y^2}{6x^2y^2} = 5$
Получаем: $6x^2y^2(2x - 3y + 5)$.
5. Проверка: $6x^2y^2 \cdot (2x - 3y + 5) = 6x^2y^2 \cdot 2x - 6x^2y^2 \cdot 3y + 6x^2y^2 \cdot 5 = 12x^3y^2 - 18x^2y^3 + 30x^2y^2$. Результат верен.

Ответ: Алгоритм разложения многочлена на множители вынесением общего множителя за скобки состоит из следующих шагов:
1. Найти наибольший общий делитель (НОД) модулей числовых коэффициентов всех членов многочлена.
2. Определить общие переменные, входящие в каждый член, и для каждой из них взять наименьшую степень.
3. Сформировать общий множитель, являющийся произведением НОД и общих переменных в наименьших степенях.
4. Вынести общий множитель за скобки, а в скобках записать многочлен, полученный делением каждого члена исходного многочлена на этот общий множитель.
5. Произвести проверку, умножив множитель на выражение в скобках.

им способом вынесения общего множителя за скобки.

Чтобы проверить правильность выполнения разложения многочлена на множители, нужно выполнить обратное действие — умножить полученные множители. Если в результате этого умножения получится исходный многочлен, значит, разложение было выполнено верно. Этот процесс является проверкой, основанной на распределительном свойстве умножения.

Рассмотрим пошаговый алгоритм проверки на примере.

Допустим, необходимо проверить правильность разложения многочлена $15x^3y^2 + 5x^2y^3$ на множители, которое выглядит как $5x^2y^2(3x + y)$.

1. Возьмем полученные множители.
В нашем случае это одночлен $5x^2y^2$ и многочлен $(3x + y)$.

2. Перемножим эти множители.
Для этого умножим одночлен на каждый член многочлена в скобках:
$5x^2y^2 \cdot (3x + y) = (5x^2y^2 \cdot 3x) + (5x^2y^2 \cdot y)$

3. Упростим полученное выражение.
Выполним умножение в каждой части, складывая степени у одинаковых переменных:
$(5 \cdot 3)x^{2+1}y^2 + 5x^2y^{2+1} = 15x^3y^2 + 5x^2y^3$

4. Сравним результат с исходным многочленом.
Полученный многочлен $15x^3y^2 + 5x^2y^3$ в точности совпадает с исходным. Это подтверждает, что разложение на множители было выполнено правильно.

Если бы в результате умножения мы получили выражение, отличное от исходного, это бы указывало на ошибку в разложении.

Ответ: Чтобы проверить правильность разложения многочлена на множители, необходимо перемножить все полученные множители. Если в результате этого произведения получается исходный многочлен, то разложение выполнено верно.

5. Какие преобразования выражения $a-b$ следует выполнить, чтобы доказать, что $a-b = -(b-a)$?

Чтобы доказать тождество $a - b = -(b - a)$, необходимо последовательно выполнить следующие алгебраические преобразования с выражением $a - b$.

1. Вынесение общего множителя за скобки. Основное преобразование заключается в том, чтобы вынести множитель $-1$ за скобки. Для этого мы делим каждый член исходного выражения на $-1$ и записываем результат в скобках, а множитель $-1$ ставим перед ними.
$a - b = (-1) \cdot (\frac{a}{-1} + \frac{-b}{-1}) = (-1) \cdot (-a + b)$

2. Применение переместительного (коммутативного) закона сложения. Этот закон гласит, что от перемены мест слагаемых их сумма не изменяется. Применим его к выражению в скобках $-a + b$, поменяв слагаемые местами.
$-a + b = b - a$
Подставив это в наше выражение, получаем:
$(-1) \cdot (-a + b) = (-1) \cdot (b - a)$

3. Упрощение записи. По общепринятому правилу, множитель $-1$ перед скобкой можно заменить просто знаком "минус".
$(-1) \cdot (b - a) = -(b - a)$

Таким образом, мы выполнили цепочку преобразований: $a - b = (-1) \cdot (-a + b) = (-1) \cdot (b - a) = -(b - a)$, что и доказывает требуемое равенство.

Ответ: Чтобы доказать, что $a - b = -(b - a)$, следует в выражении $a - b$ выполнить два основных преобразования: 1) вынести за скобки общий множитель $-1$; 2) применить к полученному в скобках выражению $(-a + b)$ переместительный закон сложения.