Номер 3, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 26. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 3, страница 159.

Условие.

3. Сформулировать алгоритм разложения многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки.

Решение 1.

Решение 5.

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки — это тождественное преобразование, при котором многочлен представляется в виде произведения одночлена (общего множителя) и многочлена. Этот метод основан на распределительном свойстве умножения относительно сложения: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Для выполнения разложения используется следующий алгоритм.

Шаг 1. Найти числовую часть общего множителя
Находится наибольший общий делитель (НОД) модулей всех числовых коэффициентов, входящих в состав многочлена. Это число будет являться числовым коэффициентом общего множителя.

Шаг 2. Найти буквенную часть общего множителя
Определяются все переменные, которые входят в каждый член многочлена. Для каждой такой общей переменной выбирается наименьший показатель степени, с которым она присутствует в членах многочлена. Произведение этих переменных в найденных степенях образует буквенную часть общего множителя.

Шаг 3. Сформировать общий множитель
Общий множитель получается путем перемножения числовой части (найденной на шаге 1) и буквенной части (найденной на шаге 2).

Шаг 4. Вынести общий множитель за скобки
Найденный общий множитель записывается перед скобками. Внутри скобок записывается новый многочлен, каждый член которого является результатом деления соответствующего члена исходного многочлена на вынесенный общий множитель. Знаки («+» или «–») между членами в скобках сохраняются.

Шаг 5. Выполнить проверку
Для проверки правильности разложения нужно умножить вынесенный общий множитель на многочлен в скобках. Результат должен совпадать с исходным многочленом.

Пример применения алгоритма
Разложим на множители многочлен $12x^3y^2 - 18x^2y^3 + 30x^2y^2$.
1. Коэффициенты многочлена: 12, -18, 30. Находим $НОД(12, 18, 30) = 6$.
2. Общие переменные: $x$ и $y$. Наименьшая степень для $x$ это $x^2$. Наименьшая степень для $y$ это $y^2$. Буквенная часть общего множителя: $x^2y^2$.
3. Общий множитель равен $6x^2y^2$.
4. Выносим $6x^2y^2$ за скобки. Делим каждый член на $6x^2y^2$:
$\frac{12x^3y^2}{6x^2y^2} = 2x$
$\frac{-18x^2y^3}{6x^2y^2} = -3y$
$\frac{30x^2y^2}{6x^2y^2} = 5$
Получаем: $6x^2y^2(2x - 3y + 5)$.
5. Проверка: $6x^2y^2 \cdot (2x - 3y + 5) = 6x^2y^2 \cdot 2x - 6x^2y^2 \cdot 3y + 6x^2y^2 \cdot 5 = 12x^3y^2 - 18x^2y^3 + 30x^2y^2$. Результат верен.

Ответ: Алгоритм разложения многочлена на множители вынесением общего множителя за скобки состоит из следующих шагов:
1. Найти наибольший общий делитель (НОД) модулей числовых коэффициентов всех членов многочлена.
2. Определить общие переменные, входящие в каждый член, и для каждой из них взять наименьшую степень.
3. Сформировать общий множитель, являющийся произведением НОД и общих переменных в наименьших степенях.
4. Вынести общий множитель за скобки, а в скобках записать многочлен, полученный делением каждого члена исходного многочлена на этот общий множитель.
5. Произвести проверку, умножив множитель на выражение в скобках.