Номер 11, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

11. В трёхзначном числе в 3 раза больше десятков, чем сотен, а число единиц равно квадрату числа сотен. Если разность этого числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, разделить на число сотен исходного числа, то получится число -198. Найти исходное число.

Обозначим искомое трёхзначное число как $\overline{abc}$, где $a$ – цифра сотен, $b$ – цифра десятков, $c$ – цифра единиц. Значение этого числа можно записать в виде $100a + 10b + c$.

Поскольку число является трёхзначным, цифра сотен $a$ может принимать значения от 1 до 9, а цифры десятков $b$ и единиц $c$ – от 0 до 9.

На основе условий задачи составим уравнения:

1. Число десятков в 3 раза больше числа сотен:

$b = 3a$

2. Число единиц равно квадрату числа сотен:

$c = a^2$

Поскольку $b$ и $c$ являются цифрами, они не могут быть больше 9. Это накладывает ограничения на $a$:

• Из условия $b = 3a$ следует, что $3a \le 9$, то есть $a \le 3$.
• Из условия $c = a^2$ следует, что $a^2 \le 9$, то есть $a \le 3$.

Учитывая, что $a \ne 0$, возможными значениями для $a$ являются 1, 2 или 3.

3. Третье условие связывает исходное число и число, записанное теми же цифрами в обратном порядке ($\overline{cba}$, равное $100c + 10b + a$).

Разность этих чисел, деленная на число сотен исходного числа, равна -198:

$\frac{(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)}{a} = -198$

Упростим выражение в числителе дроби:

$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99a - 99c = 99(a - c)$

Теперь уравнение принимает вид:

$\frac{99(a - c)}{a} = -198$

Разделим обе части уравнения на 99:

$\frac{a - c}{a} = -2$

Так как $a \ne 0$, умножим обе части на $a$:

$a - c = -2a$

$3a = c$

Теперь у нас есть два выражения для $c$: $c = a^2$ и $c = 3a$. Приравняем их, чтобы найти $a$:

$a^2 = 3a$

$a^2 - 3a = 0$

$a(a - 3) = 0$

Это уравнение даёт два возможных решения: $a = 0$ или $a = 3$. Поскольку $a$ является цифрой сотен в трёхзначном числе, $a$ не может быть равно 0. Значит, единственное верное решение – $a = 3$.

Зная $a$, находим остальные цифры:

$b = 3a = 3 \cdot 3 = 9$

$c = a^2 = 3^2 = 9$

Таким образом, искомое число – 399.

Выполним проверку:

• Число сотен $a=3$, число десятков $b=9$, число единиц $c=9$.
• $b = 3a \Rightarrow 9 = 3 \cdot 3$ (верно).
• $c = a^2 \Rightarrow 9 = 3^2$ (верно).
• Обратное число – 993. Разность: $399 - 993 = -594$.
• Деление разности на число сотен: $\frac{-594}{3} = -198$ (верно).

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 399.