Номер 9, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Вычислить: $\frac{8 \cdot 5^{17} + 11 \cdot 5^{18}}{(5^9 \cdot 3)^2 \cdot 7}$.

Для вычисления значения выражения $\frac{8 \cdot 5^{17} + 11 \cdot 5^{18}}{(5^9 \cdot 3)^2 \cdot 7}$ выполним преобразования по шагам, сначала упростив числитель, а затем знаменатель.

1. Упростим числитель:

В числителе $8 \cdot 5^{17} + 11 \cdot 5^{18}$ вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $5^{17}$. Для этого представим $5^{18}$ как $5^{17} \cdot 5^1$.

$8 \cdot 5^{17} + 11 \cdot 5^{18} = 8 \cdot 5^{17} + 11 \cdot (5^{17} \cdot 5) = 5^{17} \cdot (8 + 11 \cdot 5)$

Теперь вычислим значение в скобках:

$8 + 11 \cdot 5 = 8 + 55 = 63$

Таким образом, числитель равен $63 \cdot 5^{17}$.

2. Упростим знаменатель:

В знаменателе $(5^9 \cdot 3)^2 \cdot 7$ раскроем скобки, используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(5^9 \cdot 3)^2 \cdot 7 = (5^9)^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 5^{9 \cdot 2} \cdot 9 \cdot 7 = 5^{18} \cdot 63$

Таким образом, знаменатель равен $63 \cdot 5^{18}$.

3. Вычислим значение дроби:

Подставим упрощенные значения числителя и знаменателя в исходное выражение:

$\frac{63 \cdot 5^{17}}{63 \cdot 5^{18}}$

Сократим общий множитель $63$ в числителе и знаменателе:

$\frac{5^{17}}{5^{18}}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{17-18} = 5^{-1}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$

Ответ: $\frac{1}{5}$ или $0.2$.