Номер 7, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Одночлены и многочлены - номер 7, страница 156.

Условие.

7. Доказать, что произведение многочленов $a^2 + 2ab + 4b^2$ и $a - 2b$ равно частному от деления многочлена $5a^4b - 40ab^4$ на одночлен $5ab$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы доказать данное утверждение, необходимо выполнить два независимых вычисления и сравнить их результаты.

1. Найдем произведение многочленов $(a^2+2ab+4b^2)$ и $(a-2b)$.

Данное произведение является формулой разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$. В нашем случае $x=a$ и $y=2b$. Проверим это:

$x^2 = a^2$

$xy = a \cdot (2b) = 2ab$

$y^2 = (2b)^2 = 4b^2$

Все члены совпадают, следовательно, мы можем применить формулу:

$(a-2b)(a^2+a(2b)+(2b)^2) = a^3 - (2b)^3 = a^3 - 8b^3$

В качестве альтернативы можно выполнить прямое умножение многочленов:

$(a^2+2ab+4b^2)(a-2b) = a \cdot (a^2+2ab+4b^2) - 2b \cdot (a^2+2ab+4b^2) = a^3+2a^2b+4ab^2 - 2a^2b-4ab^2-8b^3$

Приведем подобные слагаемые. Члены $2a^2b$ и $-2a^2b$ взаимно уничтожаются, как и члены $4ab^2$ и $-4ab^2$.

$a^3 + (2a^2b - 2a^2b) + (4ab^2 - 4ab^2) - 8b^3 = a^3 - 8b^3$

Результат произведения равен $a^3 - 8b^3$.

2. Найдем частное от деления многочлена $(5a^4b - 40ab^4)$ на одночлен $5ab$.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен:

$(5a^4b - 40ab^4) \div (5ab) = \frac{5a^4b}{5ab} - \frac{40ab^4}{5ab}$

Выполним деление для каждого слагаемого, используя свойства степеней ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

$\frac{5a^4b}{5ab} = \frac{5}{5} \cdot a^{4-1} \cdot b^{1-1} = 1 \cdot a^3 \cdot b^0 = a^3$ (поскольку $b^0 = 1$)

$\frac{40ab^4}{5ab} = \frac{40}{5} \cdot a^{1-1} \cdot b^{4-1} = 8 \cdot a^0 \cdot b^3 = 8b^3$ (поскольку $a^0 = 1$)

Объединяем полученные результаты:

$a^3 - 8b^3$

Результат деления равен $a^3 - 8b^3$.

Вывод

Произведение многочленов равно $a^3 - 8b^3$. Частное от деления также равно $a^3 - 8b^3$.

Поскольку результаты обоих выражений совпадают ($a^3 - 8b^3 = a^3 - 8b^3$), исходное утверждение является верным.

Ответ: Утверждение доказано, так как и произведение многочленов, и частное от деления равны одному и тому же выражению $a^3-8b^3$.