Страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Вычислить: $\frac{3^4 \cdot 5^6 \cdot 4^4}{8^2 \cdot 15^4}$

Чтобы вычислить значение данного выражения, необходимо упростить его, разложив составные числа в основаниях степеней на простые множители и применив свойства степеней.

Исходное выражение: $ \frac{3^4 \cdot 5^6 \cdot 4^4}{8^2 \cdot 15^4} $

1. Разложим основания на простые множители:
Число 4 можно представить как $2^2$.
Число 8 можно представить как $2^3$.
Число 15 можно представить как $3 \cdot 5$.

2. Подставим эти разложения в выражение:
В числителе: $4^4 = (2^2)^4$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $2^{2 \cdot 4} = 2^8$.
В знаменателе: $8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.
В знаменателе: $15^4 = (3 \cdot 5)^4$. По свойству степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем $3^4 \cdot 5^4$.

3. Запишем выражение с новыми основаниями:
$ \frac{3^4 \cdot 5^6 \cdot 2^8}{2^6 \cdot (3^4 \cdot 5^4)} = \frac{3^4 \cdot 5^6 \cdot 2^8}{2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^4} $

4. Сократим дробь, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{3^4}{3^4} \cdot \frac{5^6}{5^4} \cdot \frac{2^8}{2^6} = 3^{4-4} \cdot 5^{6-4} \cdot 2^{8-6} $

5. Вычислим показатели степеней:
$ 3^0 \cdot 5^2 \cdot 2^2 $

6. Найдем конечное значение:
Поскольку любое число в нулевой степени равно 1 ($3^0 = 1$), получаем:
$ 1 \cdot 25 \cdot 4 = 100 $

Ответ: 100

6. Найти сумму и разность многочленов $4a^3b - 2ab^3 + 3a$ и $2a^3b + 2ab^3 - a$.

Сумма

Чтобы найти сумму многочленов, необходимо сложить их и привести подобные слагаемые. Запишем сумму данных многочленов:

$(4a^3b - 2ab^3 + 3a) + (2a^3b + 2ab^3 - a)$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри скобок не меняются:

$4a^3b - 2ab^3 + 3a + 2a^3b + 2ab^3 - a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

$(4a^3b + 2a^3b) + (-2ab^3 + 2ab^3) + (3a - a)$

Выполним действия в каждой группе:

$6a^3b + 0 + 2a = 6a^3b + 2a$

Ответ: $6a^3b + 2a$.

Разность

Чтобы найти разность многочленов, необходимо из первого многочлена вычесть второй. Запишем разность:

$(4a^3b - 2ab^3 + 3a) - (2a^3b + 2ab^3 - a)$

Раскроем скобки. Поскольку перед вторыми скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых в них меняются на противоположные:

$4a^3b - 2ab^3 + 3a - 2a^3b - 2ab^3 + a$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4a^3b - 2a^3b) + (-2ab^3 - 2ab^3) + (3a + a)$

Выполним действия в каждой группе:

$2a^3b - 4ab^3 + 4a$

Ответ: $2a^3b - 4ab^3 + 4a$.

7. Доказать, что произведение многочленов $a^2 + 2ab + 4b^2$ и $a - 2b$ равно частному от деления многочлена $5a^4b - 40ab^4$ на одночлен $5ab$.

Для того чтобы доказать данное утверждение, необходимо выполнить два независимых вычисления и сравнить их результаты.

1. Найдем произведение многочленов $(a^2+2ab+4b^2)$ и $(a-2b)$.

Данное произведение является формулой разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$. В нашем случае $x=a$ и $y=2b$. Проверим это:

$x^2 = a^2$

$xy = a \cdot (2b) = 2ab$

$y^2 = (2b)^2 = 4b^2$

Все члены совпадают, следовательно, мы можем применить формулу:

$(a-2b)(a^2+a(2b)+(2b)^2) = a^3 - (2b)^3 = a^3 - 8b^3$

В качестве альтернативы можно выполнить прямое умножение многочленов:

$(a^2+2ab+4b^2)(a-2b) = a \cdot (a^2+2ab+4b^2) - 2b \cdot (a^2+2ab+4b^2) = a^3+2a^2b+4ab^2 - 2a^2b-4ab^2-8b^3$

Приведем подобные слагаемые. Члены $2a^2b$ и $-2a^2b$ взаимно уничтожаются, как и члены $4ab^2$ и $-4ab^2$.

$a^3 + (2a^2b - 2a^2b) + (4ab^2 - 4ab^2) - 8b^3 = a^3 - 8b^3$

Результат произведения равен $a^3 - 8b^3$.

2. Найдем частное от деления многочлена $(5a^4b - 40ab^4)$ на одночлен $5ab$.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен:

$(5a^4b - 40ab^4) \div (5ab) = \frac{5a^4b}{5ab} - \frac{40ab^4}{5ab}$

Выполним деление для каждого слагаемого, используя свойства степеней ($\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

$\frac{5a^4b}{5ab} = \frac{5}{5} \cdot a^{4-1} \cdot b^{1-1} = 1 \cdot a^3 \cdot b^0 = a^3$ (поскольку $b^0 = 1$)

$\frac{40ab^4}{5ab} = \frac{40}{5} \cdot a^{1-1} \cdot b^{4-1} = 8 \cdot a^0 \cdot b^3 = 8b^3$ (поскольку $a^0 = 1$)

Объединяем полученные результаты:

$a^3 - 8b^3$

Результат деления равен $a^3 - 8b^3$.

Вывод

Произведение многочленов равно $a^3 - 8b^3$. Частное от деления также равно $a^3 - 8b^3$.

Поскольку результаты обоих выражений совпадают ($a^3 - 8b^3 = a^3 - 8b^3$), исходное утверждение является верным.

Ответ: Утверждение доказано, так как и произведение многочленов, и частное от деления равны одному и тому же выражению $a^3-8b^3$.

8. Решить уравнение:

$x^2(x+1)-(x+2)(2x-3)=x^2(x-1)$

Для решения данного уравнения необходимо последовательно выполнить алгебраические преобразования, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное уравнение:

$x^2(x + 1) - (x + 2)(2x - 3) = x^2(x - 1)$

1. Раскрытие скобок

Сначала раскроем скобки в каждой части уравнения. Для этого умножим одночлены на многочлены и перемножим два многочлена в левой части.

В левой части:

$x^2(x+1) = x^3 + x^2$

$(x+2)(2x-3) = x \cdot 2x + x \cdot (-3) + 2 \cdot 2x + 2 \cdot (-3) = 2x^2 - 3x + 4x - 6 = 2x^2 + x - 6$

В правой части:

$x^2(x-1) = x^3 - x^2$

2. Упрощение уравнения

Подставим полученные раскрытые выражения обратно в исходное уравнение:

$(x^3 + x^2) - (2x^2 + x - 6) = x^3 - x^2$

Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак "минус". При этом знаки всех слагаемых внутри этих скобок меняются на противоположные:

$x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 6 = x^3 - x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$x^3 - x^2 - x + 6 = x^3 - x^2$

3. Решение уравнения

Перенесем все члены уравнения из правой части в левую, изменив их знак на противоположный, чтобы справа остался ноль:

$x^3 - x^2 - x + 6 - x^3 + x^2 = 0$

Теперь сократим взаимно уничтожающиеся члены: $x^3$ и $-x^3$, а также $-x^2$ и $x^2$.

$(x^3 - x^3) + (-x^2 + x^2) - x + 6 = 0$

После сокращения получаем простое линейное уравнение:

$-x + 6 = 0$

Перенесем свободный член 6 в правую часть уравнения:

$-x = -6$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти значение $x$:

$x = 6$

4. Проверка

Чтобы убедиться в правильности найденного корня, подставим значение $x=6$ в первоначальное уравнение:

$6^2(6 + 1) - (6 + 2)(2 \cdot 6 - 3) = 6^2(6 - 1)$

$36(7) - (8)(12 - 3) = 36(5)$

$252 - 8(9) = 180$

$252 - 72 = 180$

$180 = 180$

Равенство верное, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: 6

9. Вычислить: $\frac{8 \cdot 5^{17} + 11 \cdot 5^{18}}{(5^9 \cdot 3)^2 \cdot 7}$.

Для вычисления значения выражения $\frac{8 \cdot 5^{17} + 11 \cdot 5^{18}}{(5^9 \cdot 3)^2 \cdot 7}$ выполним преобразования по шагам, сначала упростив числитель, а затем знаменатель.

1. Упростим числитель:

В числителе $8 \cdot 5^{17} + 11 \cdot 5^{18}$ вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $5^{17}$. Для этого представим $5^{18}$ как $5^{17} \cdot 5^1$.

$8 \cdot 5^{17} + 11 \cdot 5^{18} = 8 \cdot 5^{17} + 11 \cdot (5^{17} \cdot 5) = 5^{17} \cdot (8 + 11 \cdot 5)$

Теперь вычислим значение в скобках:

$8 + 11 \cdot 5 = 8 + 55 = 63$

Таким образом, числитель равен $63 \cdot 5^{17}$.

2. Упростим знаменатель:

В знаменателе $(5^9 \cdot 3)^2 \cdot 7$ раскроем скобки, используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(5^9 \cdot 3)^2 \cdot 7 = (5^9)^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 5^{9 \cdot 2} \cdot 9 \cdot 7 = 5^{18} \cdot 63$

Таким образом, знаменатель равен $63 \cdot 5^{18}$.

3. Вычислим значение дроби:

Подставим упрощенные значения числителя и знаменателя в исходное выражение:

$\frac{63 \cdot 5^{17}}{63 \cdot 5^{18}}$

Сократим общий множитель $63$ в числителе и знаменателе:

$\frac{5^{17}}{5^{18}}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{17-18} = 5^{-1}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$

Ответ: $\frac{1}{5}$ или $0.2$.

10. Упростить выражение:

а) $B-A$;

б) $-A-B$;

в) $A \cdot (-B)$,

если $A=a^2-3a+2$, $B=2a^2+3a-1$.

Даны многочлены $A = a^2 - 3a + 2$ и $B = 2a^2 + 3a - 1$.

а)

Чтобы найти разность $B-A$, подставим вместо $A$ и $B$ их выражения и выполним вычитание многочленов. Важно взять выражение для $A$ в скобки, так как вычитается весь многочлен.

$B - A = (2a^2 + 3a - 1) - (a^2 - 3a + 2)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$2a^2 + 3a - 1 - a^2 + 3a - 2$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью):

$(2a^2 - a^2) + (3a + 3a) + (-1 - 2)$

Выполним действия в каждой группе:

$a^2 + 6a - 3$

Ответ: $a^2 + 6a - 3$

б)

Чтобы найти выражение $-A-B$, нужно взять многочлены $A$ и $B$ с противоположными знаками и сложить их. Это эквивалентно вычитанию обоих многочленов из нуля.

$-A - B = -(a^2 - 3a + 2) - (2a^2 + 3a - 1)$

Раскроем обе скобки, меняя знаки всех слагаемых внутри них на противоположные:

$-a^2 + 3a - 2 - 2a^2 - 3a + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-a^2 - 2a^2) + (3a - 3a) + (-2 + 1)$

Выполним действия в каждой группе:

$-3a^2 + 0a - 1 = -3a^2 - 1$

Ответ: $-3a^2 - 1$

в)

Чтобы найти произведение $A \cdot (-B)$, сначала найдем выражение для $-B$, изменив знак каждого его члена на противоположный.

$-B = -(2a^2 + 3a - 1) = -2a^2 - 3a + 1$

Теперь умножим многочлен $A$ на полученный многочлен $-B$. Для этого каждый член многочлена $A$ умножим на каждый член многочлена $-B$.

$A \cdot (-B) = (a^2 - 3a + 2) \cdot (-2a^2 - 3a + 1)$

$= a^2(-2a^2 - 3a + 1) - 3a(-2a^2 - 3a + 1) + 2(-2a^2 - 3a + 1)$

Раскроем скобки:

$= (-2a^4 - 3a^3 + a^2) + (6a^3 + 9a^2 - 3a) + (-4a^2 - 6a + 2)$

Уберем скобки и сгруппируем подобные слагаемые по степеням переменной $a$:

$-2a^4 + (-3a^3 + 6a^3) + (a^2 + 9a^2 - 4a^2) + (-3a - 6a) + 2$

Выполним действия в каждой группе:

$-2a^4 + 3a^3 + 6a^2 - 9a + 2$

Ответ: $-2a^4 + 3a^3 + 6a^2 - 9a + 2$

11. В трёхзначном числе в 3 раза больше десятков, чем сотен, а число единиц равно квадрату числа сотен. Если разность этого числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, разделить на число сотен исходного числа, то получится число -198. Найти исходное число.

Обозначим искомое трёхзначное число как $\overline{abc}$, где $a$ – цифра сотен, $b$ – цифра десятков, $c$ – цифра единиц. Значение этого числа можно записать в виде $100a + 10b + c$.

Поскольку число является трёхзначным, цифра сотен $a$ может принимать значения от 1 до 9, а цифры десятков $b$ и единиц $c$ – от 0 до 9.

На основе условий задачи составим уравнения:

1. Число десятков в 3 раза больше числа сотен:

$b = 3a$

2. Число единиц равно квадрату числа сотен:

$c = a^2$

Поскольку $b$ и $c$ являются цифрами, они не могут быть больше 9. Это накладывает ограничения на $a$:

• Из условия $b = 3a$ следует, что $3a \le 9$, то есть $a \le 3$.
• Из условия $c = a^2$ следует, что $a^2 \le 9$, то есть $a \le 3$.

Учитывая, что $a \ne 0$, возможными значениями для $a$ являются 1, 2 или 3.

3. Третье условие связывает исходное число и число, записанное теми же цифрами в обратном порядке ($\overline{cba}$, равное $100c + 10b + a$).

Разность этих чисел, деленная на число сотен исходного числа, равна -198:

$\frac{(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)}{a} = -198$

Упростим выражение в числителе дроби:

$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99a - 99c = 99(a - c)$

Теперь уравнение принимает вид:

$\frac{99(a - c)}{a} = -198$

Разделим обе части уравнения на 99:

$\frac{a - c}{a} = -2$

Так как $a \ne 0$, умножим обе части на $a$:

$a - c = -2a$

$3a = c$

Теперь у нас есть два выражения для $c$: $c = a^2$ и $c = 3a$. Приравняем их, чтобы найти $a$:

$a^2 = 3a$

$a^2 - 3a = 0$

$a(a - 3) = 0$

Это уравнение даёт два возможных решения: $a = 0$ или $a = 3$. Поскольку $a$ является цифрой сотен в трёхзначном числе, $a$ не может быть равно 0. Значит, единственное верное решение – $a = 3$.

Зная $a$, находим остальные цифры:

$b = 3a = 3 \cdot 3 = 9$

$c = a^2 = 3^2 = 9$

Таким образом, искомое число – 399.

Выполним проверку:

• Число сотен $a=3$, число десятков $b=9$, число единиц $c=9$.
• $b = 3a \Rightarrow 9 = 3 \cdot 3$ (верно).
• $c = a^2 \Rightarrow 9 = 3^2$ (верно).
• Обратное число – 993. Разность: $399 - 993 = -594$.
• Деление разности на число сотен: $\frac{-594}{3} = -198$ (верно).

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 399.

12. Доказать, что сумма пяти последовательных чётных чисел делится на 10.

Для доказательства утверждения представим пять последовательных чётных чисел в алгебраической форме. Любое чётное число можно записать как $2k$, где $k$ — целое число. Пять последовательных чётных чисел отличаются друг от друга на 2.

Чтобы упростить вычисления, удобно обозначить среднее (третье) из пяти чисел как $2n$. Тогда вся последовательность будет симметричной и примет вид: $2n-4$, $2n-2$, $2n$, $2n+2$, $2n+4$.

Найдём сумму $S$ этих пяти чисел:

$S = (2n - 4) + (2n - 2) + 2n + (2n + 2) + (2n + 4)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$S = (2n + 2n + 2n + 2n + 2n) + (-4 - 2 + 2 + 4)$

Сумма числовых членов $(-4 - 2 + 2 + 4)$ равна $0$. Сумма членов, содержащих $n$, равна $5 \times 2n = 10n$. Таким образом, итоговая сумма равна:

$S = 10n$

Так как $n$ по определению является целым числом, то произведение $10n$ всегда является целым числом, кратным 10. Это означает, что сумма пяти последовательных чётных чисел всегда делится на 10, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма пяти последовательных чётных чисел может быть представлена как $10n$, где $n$ — целое число ($2n$ — среднее число в последовательности). Поскольку это выражение является произведением 10 и целого числа, оно всегда делится на 10.