Страница 155 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Представить выражение в виде степени:

$5^3 \cdot 5^2$; $3^8 : 3^6$; $(2^3)^4$; $3^5 \cdot 2^5$.

$5^3 \cdot 5^2$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Это свойство выражается формулой: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном выражении основание $a=5$, а показатели степеней $m=3$ и $n=2$.

Применяя правило, получаем:

$5^3 \cdot 5^2 = 5^{3+2} = 5^5$.

Ответ: $5^5$

$3^8 : 3^6$

Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это свойство выражается формулой: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В данном выражении основание $a=3$, показатель степени делимого $m=8$, а показатель степени делителя $n=6$.

Применяя правило, получаем:

$3^8 : 3^6 = 3^{8-6} = 3^2$.

Ответ: $3^2$

$(2^3)^4$

Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней перемножить. Это свойство выражается формулой: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В данном выражении основание $a=2$, а показатели степеней $m=3$ и $n=4$.

Применяя правило, получаем:

$(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.

Ответ: $2^{12}$

$3^5 \cdot 2^5$

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, необходимо перемножить основания, а показатель степени оставить без изменений. Это свойство выражается формулой: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

В данном выражении основания $a=3$ и $b=2$, а общий показатель степени $n=5$.

Применяя правило, получаем:

$3^5 \cdot 2^5 = (3 \cdot 2)^5 = 6^5$.

Ответ: $6^5$

2. Упростить выражение $ (3b + c^2 - d) - (c^2 - 2d) $.

2.

Для упрощения выражения $(3b + c^2 - d) - (c^2 - 2d)$ необходимо выполнить два шага: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Раскрытие скобок.

Первые скобки можно просто опустить, так как перед ними нет знака (подразумевается плюс):

$(3b + c^2 - d) = 3b + c^2 - d$

Перед вторыми скобками стоит знак минус. Это означает, что при их раскрытии знаки всех членов внутри скобок меняются на противоположные:

$-(c^2 - 2d) = -c^2 + 2d$

Теперь запишем все выражение без скобок:

$3b + c^2 - d - c^2 + 2d$

2. Приведение подобных слагаемых.

Сгруппируем члены с одинаковыми переменными:

$3b + (c^2 - c^2) + (-d + 2d)$

Выполним вычисления в каждой группе:

Для членов с $c^2$: $c^2 - c^2 = 0$.

Для членов с $d$: $-d + 2d = d$.

Член с $b$ остается без изменений, так как он один: $3b$.

Соберем упрощенные части вместе:

$3b + 0 + d = 3b + d$

Ответ: $3b + d$.

3. Выполнить действия:

а) $(-0,25a^3b^2c) \cdot (5abc);$

б) $(7m^2 - 20mn - 10m) : 10m.$

а) Чтобы выполнить умножение одночленов, нужно перемножить их числовые коэффициенты, а затем перемножить степени с одинаковыми основаниями, сложив их показатели.

Дано выражение: $(-0,25a^3b^2c) \cdot (5abc)$.

Сгруппируем множители: $(-0,25 \cdot 5) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b) \cdot (c \cdot c)$.

1. Вычислим произведение числовых коэффициентов:

$-0,25 \cdot 5 = -1,25$

2. Выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями, используя правило $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$:

$a^3 \cdot a = a^{3+1} = a^4$

$b^2 \cdot b = b^{2+1} = b^3$

$c \cdot c = c^{1+1} = c^2$

3. Объединим полученные результаты в один одночлен:

$-1,25a^4b^3c^2$

Ответ: $-1,25a^4b^3c^2$.

б) Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен, а затем сложить полученные результаты. Деление возможно при условии, что делитель не равен нулю (в данном случае $10m \neq 0$, то есть $m \neq 0$).

Дано выражение: $(7m^2 - 20mn - 10m) : 10m$.

Представим деление в виде дроби и разделим ее на три отдельные дроби:

$\frac{7m^2 - 20mn - 10m}{10m} = \frac{7m^2}{10m} - \frac{20mn}{10m} - \frac{10m}{10m}$

1. Выполним деление для первого члена:

$\frac{7m^2}{10m} = \frac{7}{10} \cdot \frac{m^2}{m} = 0,7 \cdot m^{2-1} = 0,7m$

2. Выполним деление для второго члена:

$-\frac{20mn}{10m} = - \frac{20}{10} \cdot \frac{m}{m} \cdot n = -2 \cdot 1 \cdot n = -2n$

3. Выполним деление для третьего члена:

$-\frac{10m}{10m} = -1$

4. Сложим полученные результаты:

$0,7m - 2n - 1$

Ответ: $0,7m - 2n - 1$.

4. Упростить выражение $2m(m-1)+(m-2)(m+2)+2m$ и найти его числовое значение при $m=-0,25$.

Упростить выражение

Дано выражение: $2m(m-1) + (m-2)(m+2) + 2m$.

Для упрощения выражения необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Раскроем первое слагаемое $2m(m-1)$, используя распределительное свойство умножения:
$2m(m-1) = 2m \cdot m - 2m \cdot 1 = 2m^2 - 2m$.

2. Второе слагаемое $(m-2)(m+2)$ представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Применим формулу сокращенного умножения (разность квадратов) $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(m-2)(m+2) = m^2 - 2^2 = m^2 - 4$.

3. Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:
$(2m^2 - 2m) + (m^2 - 4) + 2m$.

4. Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с одинаковой степенью переменной $m$:
$(2m^2 + m^2) + (-2m + 2m) - 4$.

5. Выполним действия сложения и вычитания:
$3m^2 + 0 - 4 = 3m^2 - 4$.

Ответ: $3m^2 - 4$.

Найти его числовое значение при m = -0,25

Теперь необходимо подставить значение $m = -0,25$ в упрощенное выражение $3m^2 - 4$.

$3 \cdot (-0,25)^2 - 4$.

Выполним вычисления по порядку действий:

1. Возведение в степень: $(-0,25)^2 = 0,0625$.

2. Умножение: $3 \cdot 0,0625 = 0,1875$.

3. Вычитание: $0,1875 - 4 = -3,8125$.

Для проверки можно выполнить вычисления с использованием обыкновенных дробей. Представим $m = -0,25$ как $-\frac{1}{4}$:
$3 \cdot (-\frac{1}{4})^2 - 4 = 3 \cdot \frac{1}{16} - 4 = \frac{3}{16} - 4 = \frac{3}{16} - \frac{64}{16} = \frac{3-64}{16} = -\frac{61}{16}$.
При переводе в десятичную дробь $-\frac{61}{16} = -3,8125$.

Ответ: $-3,8125$.