Страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Найти рациональным способом значение выражения:

1) $37 \cdot 0.01 + 0.01 \cdot 63;$

2) $\frac{2}{3} \cdot 49 - 19 \cdot \frac{2}{3}.$

1) Для нахождения значения выражения $37 \cdot 0,01 + 0,01 \cdot 63$ рациональным способом применим распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

В данном случае общий множитель $c = 0,01$. Вынесем его за скобки:

$37 \cdot 0,01 + 0,01 \cdot 63 = 0,01 \cdot (37 + 63)$

Сначала выполним действие в скобках:

$37 + 63 = 100$

Затем умножим полученный результат на общий множитель:

$0,01 \cdot 100 = 1$

Ответ: 1

2) Для нахождения значения выражения $\frac{2}{3} \cdot 49 - 19 \cdot \frac{2}{3}$ рациональным способом применим распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.

В данном случае общий множитель $c = \frac{2}{3}$. Вынесем его за скобки:

$\frac{2}{3} \cdot 49 - 19 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \cdot (49 - 19)$

Сначала выполним действие в скобках:

$49 - 19 = 30$

Затем умножим полученный результат на общий множитель:

$\frac{2}{3} \cdot 30 = \frac{2 \cdot 30}{3} = \frac{60}{3} = 20$

Ответ: 20

2. Выполнить деление:

1) $6a^3b^2 : (2ab^2)$;

2) $15x^4y^6z : (-5x^3y^3)$;

3) $(x-y) : (x-y)$;

4) $(y-z) : (z-y)$;

5) $8(a-b) : (b-a)$;

6) $3(x+y) : (-x-y)$;

7) $(-10a^{10}b^8 + 25a^4b^7 - 5a^4b^6) : (-5a^4b^6)$;

8) $(48x^5y^3 - 18x^4y^6z) : (6x^4y^3)$.

1) Чтобы разделить одночлен на одночлен, необходимо разделить их коэффициенты, а затем разделить степени с одинаковыми основаниями (при этом их показатели вычитаются).
$6a^3b^2 : (2ab^2) = \frac{6a^3b^2}{2ab^2} = \frac{6}{2} \cdot a^{3-1} \cdot b^{2-2} = 3 \cdot a^2 \cdot b^0 = 3a^2$.
Ответ: $3a^2$.

2) Выполняем деление аналогично предыдущему примеру.
$15x^4y^6z : (-5x^3y^3) = \frac{15x^4y^6z}{-5x^3y^3} = \frac{15}{-5} \cdot x^{4-3} \cdot y^{6-3} \cdot z = -3 \cdot x^1 \cdot y^3 \cdot z = -3xy^3z$.
Ответ: $-3xy^3z$.

3) Деление любого выражения (кроме нуля) на само себя дает в результате 1.
$(x-y) : (x-y) = \frac{x-y}{x-y} = 1$. (при условии, что $x \neq y$).
Ответ: $1$.

4) В данном случае делитель является выражением, противоположным делимому. Вынесем -1 за скобки в делителе.
$(y-z) : (z-y) = \frac{y-z}{z-y} = \frac{y-z}{-(y-z)} = -1$. (при условии, что $y \neq z$).
Ответ: $-1$.

5) Вынесем -1 за скобки в делителе, чтобы получить выражение, как в числителе.
$8(a-b) : (b-a) = \frac{8(a-b)}{b-a} = \frac{8(a-b)}{-(a-b)} = -8$. (при условии, что $a \neq b$).
Ответ: $-8$.

6) Вынесем -1 за скобки в делителе.
$3(x+y) : (-x-y) = \frac{3(x+y)}{-x-y} = \frac{3(x+y)}{-(x+y)} = -3$. (при условии, что $x+y \neq 0$).
Ответ: $-3$.

7) Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен.
$(-10a^{10}b^8 + 25a^4b^7 - 5a^4b^6) : (-5a^4b^6) = \frac{-10a^{10}b^8}{-5a^4b^6} + \frac{25a^4b^7}{-5a^4b^6} + \frac{-5a^4b^6}{-5a^4b^6}$
$= 2a^{10-4}b^{8-6} - 5a^{4-4}b^{7-6} + 1a^{4-4}b^{6-6} = 2a^6b^2 - 5a^0b^1 + 1a^0b^0 = 2a^6b^2 - 5b + 1$.
Ответ: $2a^6b^2 - 5b + 1$.

8) Разделим каждый член многочлена на одночлен $6x^4y^3$.
$(48x^5y^3 - 18x^4y^6z) : (6x^4y^3) = \frac{48x^5y^3}{6x^4y^3} - \frac{18x^4y^6z}{6x^4y^3}$
$= 8x^{5-4}y^{3-3} - 3x^{4-4}y^{6-3}z = 8x^1y^0 - 3x^0y^3z = 8x - 3y^3z$.
Ответ: $8x - 3y^3z$.

485. Применить распределительный закон умножения и вычислить:

1) $14\frac{3}{8} \cdot 1\frac{1}{4} - 4\frac{3}{8} \cdot 1\frac{1}{4}$;

2) $24 \cdot 2,73 + 41 \cdot 2,73.$

1) $14\frac{3}{8} \cdot 1\frac{1}{4} - 4\frac{3}{8} \cdot 1\frac{1}{4}$

Для решения этого примера применим распределительный закон умножения относительно вычитания, который формулируется как $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$. В данном выражении общим множителем является число $1\frac{1}{4}$.

Вынесем общий множитель $1\frac{1}{4}$ за скобки:

$(14\frac{3}{8} - 4\frac{3}{8}) \cdot 1\frac{1}{4}$

Сначала выполним вычитание в скобках. Так как у смешанных чисел одинаковые дробные части, вычитаем целые части и дробные части отдельно:

$14\frac{3}{8} - 4\frac{3}{8} = (14 - 4) + (\frac{3}{8} - \frac{3}{8}) = 10 + 0 = 10$

Теперь нужно умножить полученный результат на $1\frac{1}{4}$. Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

Выполним умножение:

$10 \cdot \frac{5}{4} = \frac{10 \cdot 5}{4} = \frac{50}{4}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$\frac{50}{4} = \frac{25}{2}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{25}{2} = 12\frac{1}{2}$

Ответ: $12\frac{1}{2}$

2) $24 \cdot 2,73 + 41 \cdot 2,73$

Для решения этого примера применим распределительный закон умножения относительно сложения, который формулируется как $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$. Здесь общим множителем является число $2,73$.

Вынесем общий множитель $2,73$ за скобки:

$(24 + 41) \cdot 2,73$

Сначала выполним сложение в скобках:

$24 + 41 = 65$

Теперь умножим полученную сумму на общий множитель:

$65 \cdot 2,73$

Вычислим произведение:

$65 \cdot 2,73 = 177,45$

Ответ: $177,45$

Вынести за скобки общий множитель (486–493).

486. 1) $2m+2n$; 2) $3a-3x$; 3) $8-4x$; 4) $6a+12$.

1) 2m + 2n;

Чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти общий делитель для всех членов выражения. В данном случае у нас есть два члена: $2m$ и $2n$.
Оба члена содержат числовой множитель 2. Переменные $m$ и $n$ различны.
Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, это 2.
Делим каждый член выражения на 2:
$2m \div 2 = m$
$2n \div 2 = n$
Получаем выражение в скобках $(m + n)$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как произведение общего множителя на выражение в скобках.
$2m + 2n = 2(m + n)$.
Ответ: $2(m + n)$.

2) 3a - 3x;

В выражении $3a - 3x$ два члена: $3a$ и $-3x$.
Общим множителем для обоих членов является число 3. Переменные $a$ и $x$ различны.
Выносим 3 за скобки. Для этого делим каждый член на 3:
$3a \div 3 = a$
$-3x \div 3 = -x$
Записываем результат в factored виде:
$3a - 3x = 3(a - x)$.
Ответ: $3(a - x)$.

3) 8 - 4x;

В выражении $8 - 4x$ два члена: 8 и $-4x$.
Найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 8 и 4. Число 8 делится на 4 ($8 = 4 \cdot 2$), и число 4 делится на 4 ($4 = 4 \cdot 1$). Значит, НОД(8, 4) = 4. Переменная $x$ есть только во втором члене, поэтому общим множителем является число 4.
Выносим 4 за скобки:
$8 \div 4 = 2$
$-4x \div 4 = -x$
Получаем выражение:
$8 - 4x = 4(2 - x)$.
Ответ: $4(2 - x)$.

4) 6a + 12.

В выражении $6a + 12$ два члена: $6a$ и 12.
Найдём наибольший общий делитель для чисел 6 и 12. Число 12 делится на 6 ($12 = 6 \cdot 2$), и число 6 делится на 6 ($6 = 6 \cdot 1$). Значит, НОД(6, 12) = 6.
Переменная $a$ есть только в первом члене. Общий множитель - 6.
Выносим 6 за скобки:
$6a \div 6 = a$
$12 \div 6 = 2$
Записываем итоговое выражение:
$6a + 12 = 6(a + 2)$.
Ответ: $6(a + 2)$.

487. 1) $9a + 12b + 6$;

2) $21a - 7b + 42$;

3) $9x - 3y + 15z$.

1) 9a + 12b + 6;
Для того чтобы разложить данное выражение на множители, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов каждого слагаемого и вынести его за скобки. Коэффициенты в данном выражении: $9$, $12$ и $6$.
Найдем НОД для чисел $9$, $12$ и $6$.
$9 = 3 \cdot 3$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
$6 = 2 \cdot 3$
Общим множителем является $3$, следовательно, НОД(9, 12, 6) = $3$.
Теперь вынесем общий множитель $3$ за скобки, разделив каждый член многочлена на $3$:
$9a + 12b + 6 = 3 \cdot (3a) + 3 \cdot (4b) + 3 \cdot (2) = 3(3a + 4b + 2)$.
Ответ: $3(3a + 4b + 2)$

2) 21a - 7b + 42;
Найдем наибольший общий делитель для коэффициентов $21$, $-7$ и $42$. Рассматриваем их абсолютные значения: $21$, $7$ и $42$.
Найдем НОД для чисел $21$, $7$ и $42$.
$21 = 3 \cdot 7$
$7 = 7 \cdot 1$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
Общим множителем является $7$, следовательно, НОД(21, 7, 42) = $7$.
Вынесем общий множитель $7$ за скобки:
$21a - 7b + 42 = 7 \cdot (3a) - 7 \cdot (b) + 7 \cdot (6) = 7(3a - b + 6)$.
Ответ: $7(3a - b + 6)$

3) 9x - 3y + 15z.
Найдем наибольший общий делитель для коэффициентов $9$, $-3$ и $15$. Рассматриваем их абсолютные значения: $9$, $3$ и $15$.
Найдем НОД для чисел $9$, $3$ и $15$.
$9 = 3 \cdot 3$
$3 = 3 \cdot 1$
$15 = 3 \cdot 5$
Общим множителем является $3$, следовательно, НОД(9, 3, 15) = $3$.
Вынесем общий множитель $3$ за скобки:
$9x - 3y + 15z = 3 \cdot (3x) - 3 \cdot (y) + 3 \cdot (5z) = 3(3x - y + 5z)$.
Ответ: $3(3x - y + 5z)$

488. 1) $ax - ay$;

2) $cd + bc$;

3) $xy + x$;

4) $x - xy$.

1) В выражении $ax - ay$ оба члена, $ax$ и $-ay$, содержат общий множитель $a$. Чтобы разложить выражение на множители, нужно вынести этот общий множитель за скобки. Для этого каждый член выражения делим на общий множитель $a$:
$ax : a = x$
$-ay : a = -y$
Полученные результаты записываем в скобках. Исходное выражение будет равно произведению общего множителя на выражение в скобках.
$ax - ay = a(x - y)$
Ответ: $a(x-y)$

2) В выражении $cd + bc$ оба члена, $cd$ и $bc$, содержат общий множитель $c$. Вынесем его за скобки. Разделим каждый член на $c$:
$cd : c = d$
$bc : c = b$
Записываем результат в виде произведения общего множителя и суммы полученных частных.
$cd + bc = c(d + b)$
Ответ: $c(d+b)$

3) В выражении $xy + x$ оба члена, $xy$ и $x$, содержат общий множитель $x$. Важно помнить, что член $x$ можно представить как произведение $x \cdot 1$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки. Для этого разделим каждый член на $x$:
$xy : x = y$
$x : x = 1$
Запишем результат в виде произведения.
$xy + x = x(y + 1)$
Ответ: $x(y+1)$

4) В выражении $x - xy$ оба члена, $x$ и $-xy$, содержат общий множитель $x$. Представим член $x$ как $x \cdot 1$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки. Разделим каждый член на $x$:
$x : x = 1$
$-xy : x = -y$
Запишем результат в виде произведения.
$x - xy = x(1 - y)$
Ответ: $x(1-y)$

489. 1) $9mn + 9n$;

2) $3bd - 3b$;

3) $11z - 33yz$;

4) $6pk - 3p$.

1) Для того чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $9mn + 9n$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для каждого члена выражения.

Члены выражения: $9mn$ и $9n$.

Коэффициенты 9 и 9 имеют общий множитель 9.

Переменные $mn$ и $n$ имеют общий множитель $n$.

Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $9n$.

Вынесем $9n$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $9n$:

$9mn \div 9n = m$

$9n \div 9n = 1$

Запишем выражение в виде произведения общего множителя и суммы частных:

$9mn + 9n = 9n(m + 1)$

Ответ: $9n(m + 1)$

2) В выражении $3bd - 3b$ найдем общий множитель.

Члены выражения: $3bd$ и $-3b$.

Общий числовой множитель для коэффициентов 3 и -3 равен 3.

Общая переменная для $bd$ и $b$ - это $b$.

Следовательно, общий множитель равен $3b$.

Вынесем $3b$ за скобки, разделив каждый член на $3b$:

$3bd \div 3b = d$

$-3b \div 3b = -1$

Получаем выражение:

$3bd - 3b = 3b(d - 1)$

Ответ: $3b(d - 1)$

3) Рассмотрим выражение $11z - 33yz$.

Члены выражения: $11z$ и $-33yz$.

Найдем НОД коэффициентов 11 и 33. Поскольку $33 = 3 \times 11$, НОД равен 11.

Общая переменная для $z$ и $yz$ - это $z$.

Общий множитель для выражения - $11z$.

Вынесем $11z$ за скобки:

$11z \div 11z = 1$

$-33yz \div 11z = -3y$

Записываем результат:

$11z - 33yz = 11z(1 - 3y)$

Ответ: $11z(1 - 3y)$

4) В выражении $6pk - 3p$ найдем общий множитель.

Члены выражения: $6pk$ и $-3p$.

Найдем НОД коэффициентов 6 и 3. Поскольку $6 = 2 \times 3$, НОД равен 3.

Общая переменная для $pk$ и $p$ - это $p$.

Таким образом, общий множитель равен $3p$.

Вынесем $3p$ за скобки, разделив каждый член на $3p$:

$6pk \div 3p = 2k$

$-3p \div 3p = -1$

Итоговое выражение:

$6pk - 3p = 3p(2k - 1)$

Ответ: $3p(2k - 1)$

490. 1) $a^4 + 2a^2$;

2) $a^4 - 3a^3$;

3) $a^4b^2 + ab^3$;

4) $x^2y^3 - x^3y^2$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $a^4 + 2a^2$, необходимо вынести за скобки общий множитель. Общим множителем для слагаемых $a^4$ и $2a^2$ является $a$ в наименьшей степени, в которой он присутствует в обоих слагаемых, то есть $a^2$.
Представим каждый член выражения в виде произведения с $a^2$:
$a^4 = a^2 \cdot a^2$
$2a^2 = 2 \cdot a^2$
Теперь вынесем $a^2$ за скобки:
$a^4 + 2a^2 = a^2 \cdot a^2 + 2 \cdot a^2 = a^2(a^2 + 2)$.
Ответ: $a^2(a^2 + 2)$.

2) Для разложения на множители выражения $a^4 - 3a^3$ найдем общий множитель для $a^4$ и $3a^3$. Наибольшим общим множителем является $a$ в степени 3, то есть $a^3$.
Представим каждый член выражения в виде произведения с $a^3$:
$a^4 = a \cdot a^3$
$3a^3 = 3 \cdot a^3$
Вынесем $a^3$ за скобки:
$a^4 - 3a^3 = a \cdot a^3 - 3 \cdot a^3 = a^3(a - 3)$.
Ответ: $a^3(a - 3)$.

3) В выражении $a^4b^2 + ab^3$ необходимо найти общий множитель для обоих слагаемых. Для переменной $a$ общим множителем будет $a$ в наименьшей степени, то есть $a^1=a$. Для переменной $b$ общим множителем будет $b$ в наименьшей степени, то есть $b^2$. Таким образом, общий множитель для всего выражения - это $ab^2$.
Вынесем $ab^2$ за скобки, разделив каждый член выражения на $ab^2$:
$\frac{a^4b^2}{ab^2} = a^{4-1}b^{2-2} = a^3b^0 = a^3$
$\frac{ab^3}{ab^2} = a^{1-1}b^{3-2} = a^0b^1 = b$
Следовательно, выражение в скобках будет $(a^3 + b)$.
$a^4b^2 + ab^3 = ab^2(a^3 + b)$.
Ответ: $ab^2(a^3 + b)$.

4) В выражении $x^2y^3 - x^3y^2$ найдем общий множитель. Для переменной $x$ наименьшая степень равна 2, значит общий множитель содержит $x^2$. Для переменной $y$ наименьшая степень равна 2, значит общий множитель содержит $y^2$. Таким образом, наибольший общий множитель для обоих членов - это $x^2y^2$.
Вынесем $x^2y^2$ за скобки:
$x^2y^3 - x^3y^2 = (x^2y^2 \cdot y) - (x^2y^2 \cdot x) = x^2y^2(y - x)$.
Ответ: $x^2y^2(y - x)$.

491. 1) $9a^2b^2 - 12ab^3$

2) $20x^3y^2 + 4x^2y$

1) Чтобы разложить на множители выражение $9a^2b^2 - 12ab^3$, необходимо найти общий множитель для каждого члена выражения и вынести его за скобки.

Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 9 и 12. Разложим их на простые множители:

$9 = 3 \cdot 3$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$

Общим множителем является 3, следовательно, НОД(9, 12) = 3.

Теперь найдем общие переменные в наименьшей степени. Для переменной $a$ имеем $a^2$ и $a^1$. Наименьшая степень – первая, значит, общий множитель для $a$ это $a$. Для переменной $b$ имеем $b^2$ и $b^3$. Наименьшая степень – вторая, значит, общий множитель для $b$ это $b^2$.

Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $3ab^2$.

Вынесем его за скобки, разделив каждый член исходного выражения на этот общий множитель:

$9a^2b^2 - 12ab^3 = 3ab^2 \cdot (\frac{9a^2b^2}{3ab^2} - \frac{12ab^3}{3ab^2}) = 3ab^2 \cdot (3a^{2-1}b^{2-2} - 4a^{1-1}b^{3-2}) = 3ab^2(3a - 4b)$.

Ответ: $3ab^2(3a - 4b)$

2) Чтобы разложить на множители выражение $20x^3y^2 + 4x^2y$, найдем общий множитель для обоих членов.

Найдем НОД для числовых коэффициентов 20 и 4. НОД(20, 4) = 4.

Найдем общие переменные в наименьшей степени. Для переменной $x$ имеем $x^3$ и $x^2$. Наименьшая степень – вторая, значит, общий множитель $x^2$. Для переменной $y$ имеем $y^2$ и $y^1$. Наименьшая степень – первая, значит, общий множитель $y$.

Общий множитель для всего выражения равен $4x^2y$.

Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $4x^2y$:

$20x^3y^2 + 4x^2y = 4x^2y \cdot (\frac{20x^3y^2}{4x^2y} + \frac{4x^2y}{4x^2y}) = 4x^2y \cdot (5x^{3-2}y^{2-1} + 1x^{2-2}y^{1-1}) = 4x^2y(5xy + 1)$.

Ответ: $4x^2y(5xy + 1)$

492. 1) $4a^2b^2 + 36a^2b^3 + 6ab^4;$

2) $2x^2y^4 - 2x^4y^2 + 6x^3y^3.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $4a^2b^2 + 36a^2b^3 + 6ab^4$, необходимо найти общий множитель для всех его членов и вынести его за скобки.

Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 4, 36 и 6. НОД(4, 36, 6) = 2.

Теперь найдем общую часть для переменных.
Для переменной $a$ наименьшая степень в многочлене – это $a^1$ (в члене $6ab^4$).
Для переменной $b$ наименьшая степень в многочлене – это $b^2$ (в члене $4a^2b^2$).

Таким образом, общий множитель, который мы можем вынести за скобки, равен $2ab^2$.

Теперь разделим каждый член многочлена на этот общий множитель:
$ \frac{4a^2b^2}{2ab^2} = 2a^{2-1}b^{2-2} = 2a $
$ \frac{36a^2b^3}{2ab^2} = 18a^{2-1}b^{3-2} = 18ab $
$ \frac{6ab^4}{2ab^2} = 3a^{1-1}b^{4-2} = 3b^2 $

Запишем выражение, вынеся общий множитель за скобки, а в скобках оставив результат деления каждого члена:
$4a^2b^2 + 36a^2b^3 + 6ab^4 = 2ab^2(2a + 18ab + 3b^2)$

Ответ: $2ab^2(2a + 18ab + 3b^2)$

2) Рассмотрим многочлен $2x^2y^4 - 2x^4y^2 + 6x^3y^3$. Для разложения на множители найдем общий множитель всех его членов.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 2, -2 и 6. НОД(2, 2, 6) = 2.

Найдем общую часть для переменных.
Для переменной $x$ наименьшая степень в многочлене – это $x^2$ (в члене $2x^2y^4$).
Для переменной $y$ наименьшая степень в многочлене – это $y^2$ (в члене $-2x^4y^2$).

Таким образом, общий множитель, который мы можем вынести за скобки, равен $2x^2y^2$.

Разделим каждый член многочлена на $2x^2y^2$:
$ \frac{2x^2y^4}{2x^2y^2} = x^{2-2}y^{4-2} = y^2 $
$ \frac{-2x^4y^2}{2x^2y^2} = -x^{4-2}y^{2-2} = -x^2 $
$ \frac{6x^3y^3}{2x^2y^2} = 3x^{3-2}y^{3-2} = 3xy $

Запишем исходное выражение в виде произведения общего множителя и многочлена в скобках:
$2x^2y^4 - 2x^4y^2 + 6x^3y^3 = 2x^2y^2(y^2 - x^2 + 3xy)$

Ответ: $2x^2y^2(y^2 - x^2 + 3xy)$

493. 1) $ab - ac + a^2$;

2) $xy - x^2 + xz$;

3) $6a^2 - 3a + 12ba$;

4) $4b^2 + 8ab - 12a^2b.

1) В выражении $ab - ac + a^2$ каждый член многочлена ($ab$, $-ac$ и $a^2$) содержит общий множитель $a$. Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно каждый член многочлена разделить на этот множитель, а результаты сложить в скобках.
$ab \div a = b$
$-ac \div a = -c$
$a^2 \div a = a$
Таким образом, вынося $a$ за скобки, получаем:
$ab - ac + a^2 = a(b - c + a)$
Ответ: $a(b - c + a)$

2) В выражении $xy - x^2 + xz$ общим множителем для всех членов является переменная $x$. Вынесем $x$ за скобки, разделив каждый член на $x$.
$xy \div x = y$
$-x^2 \div x = -x$
$xz \div x = z$
В результате преобразования получим:
$xy - x^2 + xz = x(y - x + z)$
Ответ: $x(y - x + z)$

3) Для выражения $6a^2 - 3a + 12ba$ необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов (6, 3, 12) и общую переменную часть.
НОД(6, 3, 12) = 3.
Общая переменная часть для $a^2$, $a$ и $a$ (в члене $12ba$) — это $a$ в наименьшей степени, то есть $a^1$ или просто $a$.
Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $3a$.
Разделим каждый член на $3a$:
$6a^2 \div (3a) = 2a$
$-3a \div (3a) = -1$
$12ba \div (3a) = 4b$
Следовательно, выражение можно записать в виде:
$6a^2 - 3a + 12ba = 3a(2a - 1 + 4b)$
Ответ: $3a(2a - 1 + 4b)$

4) В выражении $4b^2 + 8ab - 12a^2b$ определим общий множитель.
НОД для числовых коэффициентов (4, 8, 12) равен 4.
Общая переменная для членов $b^2$, $ab$ и $a^2b$ — это $b$ в наименьшей степени, то есть $b^1$ или $b$.
Значит, общий множитель для вынесения за скобки — это $4b$.
Выполним деление каждого члена на $4b$:
$4b^2 \div (4b) = b$
$8ab \div (4b) = 2a$
$-12a^2b \div (4b) = -3a^2$
В результате получаем разложение на множители:
$4b^2 + 8ab - 12a^2b = 4b(b + 2a - 3a^2)$
Ответ: $4b(b + 2a - 3a^2)$

494. Вычислить:

1) $187^2 - 187 \cdot 87;$

2) $0,7^3 + 0,7 \cdot 9,51;$

3) $0,9^3 - 0,81 \cdot 2,9.$

1) $187^2 - 187 \cdot 87$

Для решения данного выражения вынесем общий множитель $187$ за скобки. Это упростит вычисления.

$187^2 - 187 \cdot 87 = 187 \cdot 187 - 187 \cdot 87 = 187 \cdot (187 - 87)$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$187 - 87 = 100$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение и выполним умножение:

$187 \cdot 100 = 18700$

Ответ: $18700$

2) $0.7^3 + 0.7 \cdot 9.51$

В этом выражении также можно вынести общий множитель $0.7$ за скобки.

$0.7^3 + 0.7 \cdot 9.51 = 0.7 \cdot 0.7^2 + 0.7 \cdot 9.51 = 0.7 \cdot (0.7^2 + 9.51)$

Вычислим значение в скобках. Сначала возведем $0.7$ в квадрат:

$0.7^2 = 0.49$

Теперь выполним сложение в скобках:

$0.49 + 9.51 = 10$

Подставим результат в исходное выражение:

$0.7 \cdot 10 = 7$

Ответ: $7$

3) $0.9^3 - 0.81 \cdot 2.9$

Для упрощения этого выражения заметим, что $0.81$ является квадратом числа $0.9$, то есть $0.81 = 0.9^2$. Заменим $0.81$ в выражении:

$0.9^3 - 0.81 \cdot 2.9 = 0.9^3 - 0.9^2 \cdot 2.9$

Теперь мы можем вынести общий множитель $0.9^2$ за скобки:

$0.9^2 \cdot (0.9 - 2.9)$

Выполним вычисления. Сначала найдем значение в скобках:

$0.9 - 2.9 = -2$

Теперь вычислим $0.9^2$ и умножим на результат в скобках:

$0.9^2 = 0.81$

$0.81 \cdot (-2) = -1.62$

Ответ: $-1.62$

Разложить на множители (495—500).

495. 1) $a(m+n)+b(m+n)$;

2) $b(a+5)-c(a+5)$;

3) $a(b-5)-(b-5)$;

4) $(y-3)+b(y-3).$

1) В выражении $a(m+n) + b(m+n)$ оба слагаемых имеют общий множитель $(m+n)$. Для разложения на множители вынесем этот общий множитель за скобки. От первого слагаемого $a(m+n)$ останется множитель $a$, а от второго слагаемого $b(m+n)$ останется множитель $b$.
$a(m+n) + b(m+n) = (m+n)(a+b)$.
Ответ: $(m+n)(a+b)$.

2) В выражении $b(a+5) - c(a+5)$ уменьшаемое $b(a+5)$ и вычитаемое $c(a+5)$ имеют общий множитель $(a+5)$. Вынесем этот общий множитель за скобки. От уменьшаемого останется $b$, а от вычитаемого останется $-c$.
$b(a+5) - c(a+5) = (a+5)(b-c)$.
Ответ: $(a+5)(b-c)$.

3) В выражении $a(b-5) - (b-5)$ можно заметить, что вычитаемое $(b-5)$ можно представить как произведение $1 \cdot (b-5)$. Тогда выражение принимает вид $a(b-5) - 1 \cdot (b-5)$. Общим множителем является $(b-5)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $a$, а от второго $-1$.
$a(b-5) - (b-5) = a(b-5) - 1(b-5) = (b-5)(a-1)$.
Ответ: $(b-5)(a-1)$.

4) В выражении $(y-3) + b(y-3)$ первое слагаемое $(y-3)$ можно представить как $1 \cdot (y-3)$. Тогда выражение примет вид $1 \cdot (y-3) + b(y-3)$. Общим множителем для обоих слагаемых является $(y-3)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $1$, а от второго $b$.
$(y-3) + b(y-3) = 1(y-3) + b(y-3) = (y-3)(1+b)$.
Ответ: $(y-3)(1+b)$.

496. 1) $2a(a-b)+3b(a-b);$

2) $3n(m-3)+5m(m-3);$

3) $5a(x+y)-4b(x+y);$

4) $7a(c-d)-2b(c-d).$

1) В выражении $2a(a-b) + 3b(a-b)$ оба слагаемых, $2a(a-b)$ и $3b(a-b)$, содержат общий множитель — двучлен $(a-b)$. Чтобы разложить выражение на множители, нужно вынести этот общий множитель за скобки. От первого слагаемого в скобках останется $2a$, а от второго — $3b$. Эти оставшиеся части мы записываем во второй скобке, соединяя их знаком плюс, который стоял между слагаемыми.
$2a(a-b) + 3b(a-b) = (a-b)(2a + 3b)$
Ответ: $(a-b)(2a+3b)$

2) В данном выражении $3n(m-3) + 5m(m-3)$ общим множителем для обоих слагаемых является выражение в скобках $(m-3)$. Выносим его за скобки. Внутри второй скобки останется сумма членов, которые стояли перед общим множителем, то есть $3n$ и $5m$.
$3n(m-3) + 5m(m-3) = (m-3)(3n + 5m)$
Ответ: $(m-3)(3n+5m)$

3) В выражении $5a(x+y) - 4b(x+y)$ общим множителем является двучлен $(x+y)$. Вынесем его за скобки. От первого члена, $5a(x+y)$, остается $5a$. От второго члена, $-4b(x+y)$, остается $-4b$. Записываем эти части во вторую скобку, сохраняя между ними знак минус.
$5a(x+y) - 4b(x+y) = (x+y)(5a - 4b)$
Ответ: $(x+y)(5a-4b)$

4) Аналогично предыдущим примерам, в выражении $7a(c-d) - 2b(c-d)$ мы находим общий множитель $(c-d)$. Выносим его за скобки. От уменьшаемого $7a(c-d)$ остается $7a$, а от вычитаемого $2b(c-d)$ остается $2b$. В результате получаем произведение общего множителя на разность оставшихся частей.
$7a(c-d) - 2b(c-d) = (c-d)(7a - 2b)$
Ответ: $(c-d)(7a-2b)$

497. 1) $a^2(x-y)+b^2(x-y);$

2) $a^2(x+y)+b^3(x+y);$

3) $a(x^2+y^2)-b(x^2+y^2);$

4) $x(a^2+2b^2)+y(a^2+2b^2).$

1) В выражении $a^2(x - y) + b^2(x - y)$ мы видим, что оба слагаемых, $a^2(x - y)$ и $b^2(x - y)$, имеют общий множитель $(x - y)$. Для разложения на множители мы можем вынести этот общий множитель за скобки.
$a^2(x - y) + b^2(x - y) = (x - y)(a^2 + b^2)$
В первой скобке мы записываем общий множитель, а во второй — сумму оставшихся частей выражений ($a^2$ и $b^2$).
Ответ: $(x - y)(a^2 + b^2)$.

2) В данном выражении $a^2(x + y) + b^3(x + y)$ общим множителем для обоих слагаемых является выражение в скобках $(x + y)$. Вынесем его за скобки.
$a^2(x + y) + b^3(x + y) = (x + y)(a^2 + b^3)$
После вынесения общего множителя $(x + y)$ от первого слагаемого остается $a^2$, а от второго $b^3$. Эти оставшиеся части мы записываем во вторых скобках.
Ответ: $(x + y)(a^2 + b^3)$.

3) В выражении $a(x^2 + y^2) - b(x^2 + y^2)$ общим множителем является $(x^2 + y^2)$. Вынесем его за скобки, как и в предыдущих примерах.
$a(x^2 + y^2) - b(x^2 + y^2) = (x^2 + y^2)(a - b)$
От первого члена выражения остается $a$, а от второго $-b$. Результат их вычитания записываем во второй скобке.
Ответ: $(x^2 + y^2)(a - b)$.

4) В выражении $x(a^2 + 2b^2) + y(a^2 + 2b^2)$ общий множитель для обоих слагаемых — это $(a^2 + 2b^2)$. Выносим этот множитель за скобки.
$x(a^2 + 2b^2) + y(a^2 + 2b^2) = (a^2 + 2b^2)(x + y)$
В скобках после общего множителя остается сумма множителей, стоявших перед ним, то есть $x + y$.
Ответ: $(a^2 + 2b^2)(x + y)$.