Страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Прочитать формулу разности квадратов двух чисел.

1. Формула разности квадратов для двух произвольных чисел $a$ и $b$ записывается следующим образом:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Читается (произносится) эта формула так: разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их сумму.
Ответ: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$; разность квадратов двух чисел равна произведению их разности на их сумму.

2. Чему равно произведение разности чисел $m$ и $n$ на их сумму?

Данная задача требует найти произведение двух выражений: разности чисел $m$ и $n$ и их суммы.

1. Сначала запишем эти выражения в математическом виде:

• Разность чисел $m$ и $n$: $(m - n)$
• Сумма чисел $m$ и $n$: $(m + n)$

2. Теперь необходимо найти их произведение. Для этого умножим одно выражение на другое:
$(m - n)(m + n)$

3. Полученное выражение является формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов". Общий вид этой формулы: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

4. Применяя эту формулу к нашему выражению, мы получаем:
$(m - n)(m + n) = m^2 - n^2$

Таким образом, произведение разности чисел $m$ и $n$ на их сумму равно разности квадратов этих чисел.

Ответ: $m^2 - n^2$

m и n на их сумму.

3. Привести пример упрощения вычислений с помощью формулы (1).

Поскольку в тексте задания не указана конкретная "формула (1)", в качестве примера возьмем одну из наиболее часто используемых для упрощения вычислений формул сокращенного умножения — формулу разности квадратов.

Формула разности квадратов имеет вид: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Она позволяет заменить операцию вычитания квадратов двух чисел на произведение их разности и суммы, что часто делает вычисления значительно проще.

Пример упрощения вычислений

Предположим, нам нужно вычислить значение выражения $87^2 - 13^2$.

Без использования формулы, нам пришлось бы сначала возводить каждое число в квадрат, а затем выполнять вычитание:

$87^2 = 7569$

$13^2 = 169$

$7569 - 169 = 7400$

Эти вычисления достаточно трудоемки, особенно если выполнять их в уме.

С использованием формулы (1) — формулы разности квадратов. В нашем случае $a = 87$ и $b = 13$.

Подставляем наши числа в формулу:

$87^2 - 13^2 = (87 - 13)(87 + 13)$

Теперь выполним простые действия в скобках:

$87 - 13 = 74$

$87 + 13 = 100$

Осталось только перемножить полученные результаты:

$74 \times 100 = 7400$

Как видно, использование формулы позволило свести задачу к простым операциям вычитания, сложения и умножения на круглое число, которые легко выполнить даже устно.

Ответ: Пример упрощения вычисления $87^2 - 13^2$ с помощью формулы разности квадратов: $87^2 - 13^2 = (87 - 13)(87 + 13) = 74 \times 100 = 7400$.

4. С помощью рисунка 17 обосновать формулу разности квадратов двух чисел.

$AB = BC = a$

$S_{ABCD} = a^2$

$S_{AEFG} = b^2$

$S_{GFEBCD} = S_{EBHL}$

$S_{GFEBCD} = a^2 - b^2$

$S_{EBHL} = (a-b)(a+b)$

Рис. 17

Формулу разности квадратов двух чисел, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, можно обосновать с помощью геометрических построений, показанных на рисунке 17. Разобьем доказательство на несколько логических шагов.

Сначала рассмотрим L-образную фигуру GFEBCD. Её площадь можно представить как разность площадей двух квадратов. Если взять большой квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$, и вырезать из его угла меньший квадрат AEFG со стороной $b$ и площадью $b^2$, то оставшаяся площадь будет равна площади фигуры GFEBCD. Таким образом, мы можем записать:

$S_{GFEBCD} = a^2 - b^2$

Далее, как показано на рисунке, L-образную фигуру GFEBCD можно преобразовать в прямоугольник EBHL. Это достигается путем "отрезания" нижнего прямоугольника (соответствующего FGDM) и его "приставления" сбоку (в виде прямоугольника CHML). Поскольку преобразование заключается лишь в перемещении части фигуры, общая площадь сохраняется. Следовательно, площади исходной фигуры и полученного прямоугольника равны:

$S_{GFEBCD} = S_{EBHL}$

Теперь найдем площадь прямоугольника EBHL, вычислив длины его сторон.

• Одна сторона прямоугольника — это EB. Её длина получается вычитанием длины отрезка AE ($=b$) из полной высоты исходного квадрата ($=a$). Таким образом, $EB = a - b$.
• Вторая сторона — это BH. Она состоит из двух отрезков: BC и CH. Согласно обозначениям на рисунке, длина отрезка BC равна $a$. Длина отрезка CH равна стороне перемещенного прямоугольника, которая, в свою очередь, равна стороне FG малого квадрата, то есть $b$. Таким образом, полная длина стороны BH составляет $BH = BC + CH = a + b$.

Площадь прямоугольника EBHL равна произведению длин его сторон:

$S_{EBHL} = EB \cdot BH = (a-b)(a+b)$

Так как мы установили, что $S_{GFEBCD} = a^2 - b^2$ и $S_{GFEBCD} = S_{EBHL} = (a-b)(a+b)$, мы можем приравнять эти выражения. В результате получаем искомую формулу разности квадратов:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Ответ: Формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ обосновывается тем, что площадь фигуры, полученной вычитанием из квадрата со стороной $a$ квадрата со стороной $b$ (равная $a^2 - b^2$), путем геометрических преобразований оказывается равной площади прямоугольника со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$ (площадь которого равна $(a-b)(a+b)$).

1. (Устно.) Записать в виде квадрата числа:

1) 81;

2) 256;

3) 0,36;

4) 14 400.

1) 81
Чтобы записать число 81 в виде квадрата числа, необходимо найти такое число, которое при умножении само на себя даст 81. Это действие равносильно нахождению квадратного корня из 81. Мы знаем из таблицы умножения, что $9 \times 9 = 81$. Следовательно, число 81 можно представить как квадрат числа 9: $81 = 9^2$. Также стоит отметить, что $(-9)^2 = (-9) \times (-9) = 81$, но обычно в таких задачах подразумевается положительное основание.
Ответ: $9^2$.

2) 256
Для того чтобы представить число 256 в виде квадрата, нужно найти число, квадрат которого равен 256. Можно заметить, что число 256 оканчивается на 6. Квадраты чисел, оканчивающихся на 4 или 6, также оканчиваются на 6. Проверим число 16: $16 \times 16 = 256$. Таким образом, число 256 является квадратом числа 16: $256 = 16^2$.
Ответ: $16^2$.

3) 0,36
Чтобы представить десятичную дробь 0,36 в виде квадрата, найдем число, которое в квадрате даст 0,36. Можно представить 0,36 как обыкновенную дробь: $0,36 = \frac{36}{100}$. Квадратный корень из дроби равен отношению квадратных корней из числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0,6$. Проверим: $0,6^2 = 0,6 \times 0,6 = 0,36$. Следовательно, 0,36 — это квадрат числа 0,6: $0,36 = 0,6^2$.
Ответ: $0,6^2$.

4) 14 400
Чтобы представить число 14 400 в виде квадрата, найдем число, квадрат которого равен 14 400. Число 14 400 можно представить в виде произведения: $14 400 = 144 \times 100$. Мы знаем, что $144 = 12^2$ и $100 = 10^2$. Тогда $14 400 = 144 \times 100 = 12^2 \times 10^2 = (12 \times 10)^2 = 120^2$. Проверим: $120 \times 120 = 14 400$. Таким образом, число 14 400 является квадратом числа 120: $14 400 = 120^2$.
Ответ: $120^2$.

2. Представить в виде квадрата одночлена:

1) $a^4$;

2) $b^6$;

3) $a^2b^8$;

4) $x^2y^{10}$.

1) Чтобы представить одночлен $a^4$ в виде квадрата другого одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении во вторую степень (в квадрат) даст исходный. Для этого воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{mn}$. Мы ищем одночлен $X$ такой, что $X^2 = a^4$. Пусть искомый одночлен имеет вид $a^k$. Тогда, согласно свойству степени, $(a^k)^2 = a^{2 \cdot k}$. Приравнивая это выражение к $a^4$, получаем уравнение для показателя степени: $a^{2k} = a^4$, что означает $2k = 4$. Решая это уравнение, находим $k=2$. Таким образом, одночлен, который в квадрате дает $a^4$, это $a^2$. Представление $a^4$ в виде квадрата одночлена будет выглядеть как $(a^2)^2$.
Проверка: $(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.
Ответ: $(a^2)^2$.

2) Аналогично предыдущему пункту, для одночлена $b^6$ ищем одночлен $Y$ такой, что $Y^2 = b^6$. Пусть $Y = b^k$. Тогда $(b^k)^2 = b^{2k}$. Приравнивая показатели степени, получаем $2k = 6$, откуда $k=3$. Следовательно, искомый одночлен — это $b^3$. Представление $b^6$ в виде квадрата будет $(b^3)^2$.
Проверка: $(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$.
Ответ: $(b^3)^2$.

3) Для одночлена $a^2b^8$, который является произведением степеней, воспользуемся свойством возведения в степень произведения: $(xy)^n = x^n y^n$. Нам нужно найти одночлен вида $X = a^k b^m$, чтобы его квадрат был равен $a^2b^8$.
$(a^k b^m)^2 = (a^k)^2 (b^m)^2 = a^{2k}b^{2m}$.
Приравниваем это выражение к $a^2b^8$: $a^{2k}b^{2m} = a^2b^8$.
Это равенство будет верным, если показатели степеней при одинаковых основаниях равны. Получаем систему из двух уравнений:
Для основания $a$: $2k = 2 \implies k = 1$.
Для основания $b$: $2m = 8 \implies m = 4$.
Таким образом, искомый одночлен — это $a^1b^4$ или просто $ab^4$. Представление в виде квадрата: $(ab^4)^2$.
Проверка: $(ab^4)^2 = a^2 \cdot (b^4)^2 = a^2b^{4 \cdot 2} = a^2b^8$.
Ответ: $(ab^4)^2$.

4) Для одночлена $x^2y^{10}$ поступаем так же, как и в пункте 3). Ищем одночлен $X = x^k y^m$ такой, что $X^2 = x^2y^{10}$.
$(x^k y^m)^2 = (x^k)^2 (y^m)^2 = x^{2k}y^{2m}$.
Приравниваем $x^{2k}y^{2m}$ к $x^2y^{10}$.
Сравнивая показатели степеней для каждого основания, получаем систему уравнений:
Для основания $x$: $2k = 2 \implies k = 1$.
Для основания $y$: $2m = 10 \implies m = 5$.
Искомый одночлен — это $x^1y^5$ или $xy^5$. Представление в виде квадрата: $(xy^5)^2$.
Проверка: $(xy^5)^2 = x^2 \cdot (y^5)^2 = x^2y^{5 \cdot 2} = x^2y^{10}$.
Ответ: $(xy^5)^2$.

3. Записать в виде многочлена стандартного вида результат умножения:

1) $(x - 7)(x - 7);$

2) $(a - b)(a - b);$

3) $(m - 2)(m + 1);$

4) $(-2x + 3)(x - 4);$

5) $(3a - 5b)(b - 6a);$

6) $(3m - n)(3m + n).$

1) Для того, чтобы записать произведение $(x-7)(x-7)$ в виде многочлена стандартного вида, можно применить формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ или выполнить умножение "фонтанчиком".
Способ 1: по формуле
В данном случае $a=x$ и $b=7$.
$(x-7)(x-7) = (x-7)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 - 14x + 49$.
Способ 2: умножение многочленов
$(x-7)(x-7) = x \cdot x + x \cdot (-7) - 7 \cdot x - 7 \cdot (-7) = x^2 - 7x - 7x + 49$.
Приводим подобные члены: $-7x - 7x = -14x$.
Результат: $x^2 - 14x + 49$.
Ответ: $x^2 - 14x + 49$.

2) Выражение $(a-b)(a-b)$ представляет собой квадрат разности. Применим формулу сокращенного умножения $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
$(a-b)(a-b) = (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Полученный многочлен уже имеет стандартный вид.
Ответ: $a^2 - 2ab + b^2$.

3) Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.
$(m-2)(m+1) = m \cdot m + m \cdot 1 - 2 \cdot m - 2 \cdot 1 = m^2 + m - 2m - 2$.
Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $m$):
$m - 2m = -m$.
В результате получаем многочлен стандартного вида:
$m^2 - m - 2$.
Ответ: $m^2 - m - 2$.

4) Выполним умножение многочленов $(-2x+3)$ и $(x-4)$.
$(-2x+3)(x-4) = (-2x) \cdot x + (-2x) \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) = -2x^2 + 8x + 3x - 12$.
Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$):
$8x + 3x = 11x$.
Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней $x$:
$-2x^2 + 11x - 12$.
Ответ: $-2x^2 + 11x - 12$.

5) Умножим многочлен $(3a-5b)$ на $(b-6a)$.
$(3a-5b)(b-6a) = 3a \cdot b + 3a \cdot (-6a) - 5b \cdot b - 5b \cdot (-6a) = 3ab - 18a^2 - 5b^2 + 30ab$.
Приведем подобные члены (слагаемые с $ab$):
$3ab + 30ab = 33ab$.
Запишем полученные члены в стандартном виде многочлена (например, по убыванию степеней переменной $a$):
$-18a^2 + 33ab - 5b^2$.
Ответ: $-18a^2 + 33ab - 5b^2$.

6) В этом примере мы имеем произведение разности и суммы двух выражений. Это формула разности квадратов: $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$.
В нашем случае $A=3m$ и $B=n$.
$(3m-n)(3m+n) = (3m)^2 - n^2 = 9m^2 - n^2$.
Полученный многочлен $9m^2 - n^2$ является многочленом стандартного вида.
Ответ: $9m^2 - n^2$.

4. Разложить на множители:

1) $k^6n^4 - k^3n^2$;

2) $42a^3b^4 - 12abc$;

3) $3b + 12 - ab - 4a.$

1) Для разложения на множители выражения $k^6n^4 - k^3n^2$ необходимо найти и вынести за скобки общий множитель. Общий множитель состоит из переменных в наименьшей степени, в которой они входят в каждый член многочлена.
Переменная $k$ входит в первый член в степени 6 ($k^6$) и во второй в степени 3 ($k^3$). Наименьшая степень равна 3, поэтому общий множитель содержит $k^3$.
Переменная $n$ входит в первый член в степени 4 ($n^4$) и во второй в степени 2 ($n^2$). Наименьшая степень равна 2, поэтому общий множитель содержит $n^2$.
Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $k^3n^2$.
Вынесем $k^3n^2$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного многочлена на $k^3n^2$:
$k^6n^4 - k^3n^2 = k^3n^2 \cdot (\frac{k^6n^4}{k^3n^2} - \frac{k^3n^2}{k^3n^2})$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^p} = a^{m-p}$, получаем:
$k^3n^2 \cdot (k^{6-3}n^{4-2} - 1) = k^3n^2(k^3n^2 - 1)$
Ответ: $k^3n^2(k^3n^2 - 1)$.

2) Для разложения на множители выражения $42a^3b^4 - 12abc$ найдем общий множитель для обоих членов.
Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 42 и 12.
Разложим числа на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$12 = 2^2 \cdot 3$
НОД(42, 12) = $2 \cdot 3 = 6$.
Теперь рассмотрим переменные.
Переменная $a$ входит в первый член в степени 3 ($a^3$) и во второй в степени 1 ($a$). Наименьшая степень равна 1, поэтому общий множитель содержит $a$.
Переменная $b$ входит в первый член в степени 4 ($b^4$) и во второй в степени 1 ($b$). Наименьшая степень равна 1, поэтому общий множитель содержит $b$.
Переменная $c$ входит только во второй член, поэтому она не является общим множителем.
Общий множитель для всего выражения равен $6ab$.
Вынесем $6ab$ за скобки:
$42a^3b^4 - 12abc = 6ab \cdot (\frac{42a^3b^4}{6ab} - \frac{12abc}{6ab}) = 6ab(7a^{3-1}b^{4-1} - 2c) = 6ab(7a^2b^3 - 2c)$
Ответ: $6ab(7a^2b^3 - 2c)$.

3) Для разложения на множители многочлена $3b + 12 - ab - 4a$ воспользуемся методом группировки слагаемых.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(3b + 12) + (-ab - 4a)$
Из первой группы $(3b + 12)$ вынесем за скобки общий множитель 3:
$3(b + 4)$
Из второй группы $(-ab - 4a)$ вынесем за скобки общий множитель $-a$:
$-a(b + 4)$
Теперь выражение имеет вид:
$3(b + 4) - a(b + 4)$
Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(b + 4)$. Вынесем его за скобки:
$(b + 4)(3 - a)$
Разложение на множители завершено.
Ответ: $(b + 4)(3 - a)$.

518. Представить в виде квадрата одночлена:

1) $4a^2$; $9b^2$; $16c^2$; $0,04x^2$;

2) $\frac{1}{9}a^2b^2$; $0,25x^2y^2$; $0,16m^4$; $0,81n^6$;

3) $0,01a^4b^2$; $\frac{9}{16}x^2y^4$; $\frac{25}{49}x^6z^4$; $1\frac{9}{16}m^4n^6$.

Для того чтобы представить одночлен в виде квадрата другого одночлена, необходимо извлечь квадратный корень из его числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 2. Это основано на свойстве степени $(a^m b^n)^k = a^{mk} b^{nk}$, где в нашем случае $k=2$.

1)

• Для одночлена $4a^2$: извлекаем квадратный корень из коэффициента $4$, что равно $2$. Степень переменной $a$ ($2$) делим на $2$, получая $a^{2/2} = a^1 = a$. Таким образом, $4a^2 = (2a)^2$.
• Для одночлена $9b^2$: корень из $9$ равен $3$. Степень переменной $b$ ($2$) делим на $2$: $b^{2/2} = b^1 = b$. Таким образом, $9b^2 = (3b)^2$.
• Для одночлена $16c^2$: корень из $16$ равен $4$. Степень переменной $c$ ($2$) делим на $2$: $c^{2/2} = c^1 = c$. Таким образом, $16c^2 = (4c)^2$.
• Для одночлена $0,04x^2$: корень из $0,04$ равен $0,2$. Степень переменной $x$ ($2$) делим на $2$: $x^{2/2} = x^1 = x$. Таким образом, $0,04x^2 = (0,2x)^2$.

Ответ: $(2a)^2$; $(3b)^2$; $(4c)^2$; $(0,2x)^2$.

2)

Применяем тот же самый метод для следующих одночленов.

• Для одночлена $\frac{1}{9}a^2b^2$: корень из коэффициента $\frac{1}{9}$ равен $\frac{1}{3}$. Степени переменных $a$ и $b$ делим на $2$: $a^{2/2} = a$ и $b^{2/2} = b$. В результате получаем $(\frac{1}{3}ab)^2$.
• Для одночлена $0,25x^2y^2$: корень из $0,25$ равен $0,5$. Степени переменных $x$ и $y$ делим на $2$: $x^{2/2} = x$ и $y^{2/2} = y$. В результате получаем $(0,5xy)^2$.
• Для одночлена $0,16m^4$: корень из $0,16$ равен $0,4$. Степень переменной $m$ делим на $2$: $m^{4/2} = m^2$. В результате получаем $(0,4m^2)^2$.
• Для одночлена $0,81n^6$: корень из $0,81$ равен $0,9$. Степень переменной $n$ делим на $2$: $n^{6/2} = n^3$. В результате получаем $(0,9n^3)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{3}ab)^2$; $(0,5xy)^2$; $(0,4m^2)^2$; $(0,9n^3)^2$.

3)

Продолжаем использовать тот же подход. В случае смешанной дроби, сначала преобразуем её в неправильную.

• Для одночлена $0,01a^4b^2$: корень из $0,01$ равен $0,1$. Степени переменных делим на $2$: $a^{4/2} = a^2$ и $b^{2/2} = b$. Получаем $(0,1a^2b)^2$.
• Для одночлена $\frac{9}{16}x^2y^4$: корень из дроби $\frac{9}{16}$ равен $\frac{3}{4}$. Степени переменных делим на $2$: $x^{2/2} = x$ и $y^{4/2} = y^2$. Получаем $(\frac{3}{4}xy^2)^2$.
• Для одночлена $\frac{25}{49}x^6z^4$: корень из дроби $\frac{25}{49}$ равен $\frac{5}{7}$. Степени переменных делим на $2$: $x^{6/2} = x^3$ и $z^{4/2} = z^2$. Получаем $(\frac{5}{7}x^3z^2)^2$.
• Для одночлена $1\frac{9}{16}m^4n^6$: сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$. Корень из $\frac{25}{16}$ равен $\frac{5}{4}$. Степени переменных делим на $2$: $m^{4/2} = m^2$ и $n^{6/2} = n^3$. Получаем $(\frac{5}{4}m^2n^3)^2$.

Ответ: $(0,1a^2b)^2$; $(\frac{3}{4}xy^2)^2$; $(\frac{5}{7}x^3z^2)^2$; $(\frac{5}{4}m^2n^3)^2$.

Разложить на множители (519—522).

519. 1) $25x^2 - 9$; 2) $4a^2 - 9$; 3) $64y^2 - 36x^2$; 4) $81a^2 - 16b^2$.

1) Для разложения на множители выражения $25x^2 - 9$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим каждый член выражения в виде квадрата: $25x^2 = (5x)^2$ и $9 = 3^2$. Таким образом, наше выражение принимает вид $(5x)^2 - 3^2$. Применяем формулу разности квадратов: $(5x)^2 - 3^2 = (5x - 3)(5x + 3)$.
Ответ: $(5x - 3)(5x + 3)$

2) Для разложения на множители выражения $4a^2 - 9$ также используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим каждый член выражения в виде квадрата: $4a^2 = (2a)^2$ и $9 = 3^2$. Подставляем в формулу: $4a^2 - 9 = (2a)^2 - 3^2 = (2a - 3)(2a + 3)$.
Ответ: $(2a - 3)(2a + 3)$

3) Для выражения $64y^2 - 36x^2$ сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для 64 и 36 является 4. $64y^2 - 36x^2 = 4(16y^2 - 9x^2)$. Теперь разложим на множители выражение в скобках, $16y^2 - 9x^2$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим члены в скобках в виде квадратов: $16y^2 = (4y)^2$ и $9x^2 = (3x)^2$. Выражение в скобках принимает вид $(4y)^2 - (3x)^2$, что равно $(4y - 3x)(4y + 3x)$. Не забываем про общий множитель 4, который мы вынесли вначале: $4(16y^2 - 9x^2) = 4(4y - 3x)(4y + 3x)$.
Ответ: $4(4y - 3x)(4y + 3x)$

4) Для разложения на множители выражения $81a^2 - 16b^2$ снова используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим каждый член выражения в виде квадрата: $81a^2 = (9a)^2$ и $16b^2 = (4b)^2$. Подставляем в формулу: $81a^2 - 16b^2 = (9a)^2 - (4b)^2 = (9a - 4b)(9a + 4b)$.
Ответ: $(9a - 4b)(9a + 4b)$

520. 1) $\frac{1}{9}y^2 - \frac{16}{25}x^2;$

2) $\frac{4}{9}a^2 - \frac{1}{16}b^2;$

3) $0.25a^2 - 0.49b^2;$

4) $0.09x^2 - 0.16y^2.$

1)

Для разложения на множители данного выражения используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата некоторого выражения.

Первый член: $\frac{1}{9}y^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot y^2 = (\frac{1}{3}y)^2$.

Второй член: $\frac{16}{25}x^2 = (\frac{4}{5})^2 \cdot x^2 = (\frac{4}{5}x)^2$.

Таким образом, мы имеем разность квадратов, где $A = \frac{1}{3}y$ и $B = \frac{4}{5}x$.

Подставляем эти значения в формулу разности квадратов:

$\frac{1}{9}y^2 - \frac{16}{25}x^2 = (\frac{1}{3}y - \frac{4}{5}x)(\frac{1}{3}y + \frac{4}{5}x)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}y - \frac{4}{5}x)(\frac{1}{3}y + \frac{4}{5}x)$.

2)

Для разложения на множители выражения $\frac{4}{9}a^2 - \frac{1}{16}b^2$ также применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждый член в виде квадрата:

$\frac{4}{9}a^2 = (\frac{2}{3})^2 \cdot a^2 = (\frac{2}{3}a)^2$.

$\frac{1}{16}b^2 = (\frac{1}{4})^2 \cdot b^2 = (\frac{1}{4}b)^2$.

В данном случае $A = \frac{2}{3}a$ и $B = \frac{1}{4}b$.

Подставим в формулу:

$\frac{4}{9}a^2 - \frac{1}{16}b^2 = (\frac{2}{3}a - \frac{1}{4}b)(\frac{2}{3}a + \frac{1}{4}b)$.

Ответ: $(\frac{2}{3}a - \frac{1}{4}b)(\frac{2}{3}a + \frac{1}{4}b)$.

3)

Разложим на множители выражение $0,25a^2 - 0,49b^2$, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим десятичные дроби и переменные в виде квадратов:

$0,25a^2 = (0,5)^2 \cdot a^2 = (0,5a)^2$.

$0,49b^2 = (0,7)^2 \cdot b^2 = (0,7b)^2$.

Здесь $A = 0,5a$ и $B = 0,7b$.

Применяя формулу, получаем:

$0,25a^2 - 0,49b^2 = (0,5a - 0,7b)(0,5a + 0,7b)$.

Ответ: $(0,5a - 0,7b)(0,5a + 0,7b)$.

4)

Для разложения на множители выражения $0,09x^2 - 0,16y^2$ воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$0,09x^2 = (0,3)^2 \cdot x^2 = (0,3x)^2$.

$0,16y^2 = (0,4)^2 \cdot y^2 = (0,4y)^2$.

В этом выражении $A = 0,3x$ и $B = 0,4y$.

Подставим эти значения в формулу:

$0,09x^2 - 0,16y^2 = (0,3x - 0,4y)(0,3x + 0,4y)$.

Ответ: $(0,3x - 0,4y)(0,3x + 0,4y)$.

521. 1) $36x^2y^2-1$;

2) $81a^6-49b^4$;

3) $x^2y^4-16$;

4) $25a^2-9b^6$.

Для разложения данных выражений на множители используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) $36x^2y^2 - 1$

Данное выражение представляет собой разность двух членов. Представим каждый из них в виде квадрата:

Первый член: $36x^2y^2 = 6^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = (6xy)^2$.

Второй член: $1 = 1^2$.

Теперь выражение можно записать в виде разности квадратов: $(6xy)^2 - 1^2$.

Применим формулу, где в роли $a$ выступает $6xy$, а в роли $b$ — $1$:

$(6xy)^2 - 1^2 = (6xy - 1)(6xy + 1)$.

Ответ: $(6xy - 1)(6xy + 1)$.

2) $81a^6 - 49b^4$

Представим каждый член выражения в виде квадрата, используя свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

Первый член: $81a^6 = 9^2 \cdot (a^3)^2 = (9a^3)^2$.

Второй член: $49b^4 = 7^2 \cdot (b^2)^2 = (7b^2)^2$.

Получаем разность квадратов: $(9a^3)^2 - (7b^2)^2$.

Применим формулу, где $a = 9a^3$ и $b = 7b^2$:

$(9a^3)^2 - (7b^2)^2 = (9a^3 - 7b^2)(9a^3 + 7b^2)$.

Ответ: $(9a^3 - 7b^2)(9a^3 + 7b^2)$.

3) $x^2y^4 - 16$

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

Первый член: $x^2y^4 = x^2 \cdot (y^2)^2 = (xy^2)^2$.

Второй член: $16 = 4^2$.

Выражение принимает вид разности квадратов: $(xy^2)^2 - 4^2$.

Применим формулу, где $a = xy^2$ и $b = 4$:

$(xy^2)^2 - 4^2 = (xy^2 - 4)(xy^2 + 4)$.

Ответ: $(xy^2 - 4)(xy^2 + 4)$.

4) $25a^2 - 9b^6$

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

Первый член: $25a^2 = 5^2 \cdot a^2 = (5a)^2$.

Второй член: $9b^6 = 3^2 \cdot (b^3)^2 = (3b^3)^2$.

Получаем выражение в виде разности квадратов: $(5a)^2 - (3b^3)^2$.

Применим формулу, где $a = 5a$ и $b = 3b^3$:

$(5a)^2 - (3b^3)^2 = (5a - 3b^3)(5a + 3b^3)$.

Ответ: $(5a - 3b^3)(5a + 3b^3)$.

522. 1) $a^4 - b^4$;

2) $a^4 - b^8$;

3) $a^4 - 16$;

4) $b^4 - 81$.

1) $a^4 - b^4$

Для разложения данного выражения на множители мы будем использовать формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Сначала представим $a^4$ и $b^4$ в виде квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$.

Теперь наше выражение выглядит так: $(a^2)^2 - (b^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $x = a^2$ и $y = b^2$:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$

Обратим внимание, что первый множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов. Мы можем разложить его дальше, используя ту же формулу:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Второй множитель $(a^2 + b^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение имеет вид:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

2) $a^4 - b^8$

Это выражение также можно разложить с помощью формулы разности квадратов. Представим $a^4$ и $b^8$ как квадраты выражений: $a^4 = (a^2)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$.

Выражение принимает вид: $(a^2)^2 - (b^4)^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $x = a^2$ и $y = b^4$:

$(a^2 - b^4)(a^2 + b^4)$

Множитель $(a^2 - b^4)$ снова является разностью квадратов, так как $b^4 = (b^2)^2$. Разложим его:

$a^2 - b^4 = a^2 - (b^2)^2 = (a - b^2)(a + b^2)$

Множитель $(a^2 + b^4)$ является суммой квадратов и не раскладывается.

Собираем все вместе:

$(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$

Ответ: $(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$

3) $a^4 - 16$

Для разложения этого выражения используем тот же метод. Представим $a^4$ и $16$ в виде квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $16 = 4^2$.

Получаем выражение: $(a^2)^2 - 4^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $x = a^2$ и $y = 4$:

$(a^2 - 4)(a^2 + 4)$

Множитель $(a^2 - 4)$ — это разность квадратов, так как $4 = 2^2$. Разложим его:

$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$

Множитель $(a^2 + 4)$ не раскладывается.

Окончательный результат:

$(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$

4) $b^4 - 81$

Аналогично предыдущим примерам, представим выражение в виде разности квадратов. Мы знаем, что $b^4 = (b^2)^2$ и $81 = 9^2$.

Выражение принимает вид: $(b^2)^2 - 9^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $x = b^2$ и $y = 9$:

$(b^2 - 9)(b^2 + 9)$

Множитель $(b^2 - 9)$ — это разность квадратов, так как $9 = 3^2$. Разложим его:

$b^2 - 9 = b^2 - 3^2 = (b - 3)(b + 3)$

Множитель $(b^2 + 9)$ не раскладывается.

Полное разложение выглядит так:

$(b - 3)(b + 3)(b^2 + 9)$

Ответ: $(b - 3)(b + 3)(b^2 + 9)$

Выполнить умножение (523–525).

523. 1) $(2b + a)(2b - a);$

2) $(c + 3d)(c - 3d);$

3) $(y + 6x)(6x - y);$

4) $(3m - 2n)(2n + 3m).$

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем выражении $(2b+a)(2b-a)$ роль $a$ играет $2b$, а роль $b$ играет $a$.
Применим формулу:
$(2b+a)(2b-a) = (2b)^2 - a^2 = 4b^2 - a^2$.
Ответ: $4b^2 - a^2$.

2) Этот пример также решается с помощью формулы разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В выражении $(c+3d)(c-3d)$ в качестве $a$ выступает $c$, а в качестве $b$ выступает $3d$.
Подставим наши значения в формулу:
$(c+3d)(c-3d) = c^2 - (3d)^2 = c^2 - 9d^2$.
Ответ: $c^2 - 9d^2$.

3) В данном выражении $(y+6x)(6x-y)$ необходимо сначала привести скобки к виду, подходящему для формулы разности квадратов. В первой скобке поменяем слагаемые местами, используя свойство коммутативности сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется): $(y+6x) = (6x+y)$.
Теперь выражение имеет вид: $(6x+y)(6x-y)$.
Это произведение суммы и разности двух выражений, $6x$ и $y$. Применим формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(6x+y)(6x-y) = (6x)^2 - y^2 = 36x^2 - y^2$.
Ответ: $36x^2 - y^2$.

4) В выражении $(3m-2n)(2n+3m)$ также преобразуем вторую скобку, поменяв слагаемые местами: $(2n+3m) = (3m+2n)$.
Получаем выражение вида $(3m-2n)(3m+2n)$, которое является произведением разности и суммы двух выражений.
Снова используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=3m$ и $b=2n$:
$(3m-2n)(3m+2n) = (3m)^2 - (2n)^2 = 9m^2 - 4n^2$.
Ответ: $9m^2 - 4n^2$.