Страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

513. Вычислить:

1) $139 \cdot 15 + 18 \cdot 139 + 15 \cdot 261 + 18 \cdot 261;$

2) $125 \cdot 48 - 31 \cdot 82 - 31 \cdot 43 + 125 \cdot 83;$

3) $14.7 \cdot 13 - 2 \cdot 14.7 + 13 \cdot 5.3 - 2 \cdot 5.3;$

4) $3\frac{1}{3} \cdot 4\frac{1}{5} + 4.2 \cdot \frac{2}{3} + 3\frac{1}{3} \cdot 2\frac{4}{5} + 2.8 \cdot \frac{2}{3}.$

1) $139 \cdot 15 + 18 \cdot 139 + 15 \cdot 261 + 18 \cdot 261$

Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения (вынесение общего множителя за скобки). Сгруппируем слагаемые с общими множителями:

$(139 \cdot 15 + 18 \cdot 139) + (15 \cdot 261 + 18 \cdot 261)$

Вынесем общий множитель 139 из первой скобки и 261 из второй:

$139 \cdot (15 + 18) + 261 \cdot (15 + 18)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(15 + 18)$. Вынесем его за скобки:

$(139 + 261) \cdot (15 + 18)$

Вычислим сумму в каждой скобке:

$139 + 261 = 400$

$15 + 18 = 33$

Теперь перемножим полученные результаты:

$400 \cdot 33 = 13200$

Ответ: $13200$

2) $125 \cdot 48 - 31 \cdot 82 - 31 \cdot 43 + 125 \cdot 83$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями 125 и -31:

$(125 \cdot 48 + 125 \cdot 83) + (-31 \cdot 82 - 31 \cdot 43)$

Вынесем общие множители за скобки:

$125 \cdot (48 + 83) - 31 \cdot (82 + 43)$

Вычислим значения в каждой скобке:

$48 + 83 = 131$

$82 + 43 = 125$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$125 \cdot 131 - 31 \cdot 125$

Теперь вынесем за скобки общий множитель 125:

$125 \cdot (131 - 31)$

Вычислим разность в скобках:

$131 - 31 = 100$

Найдем окончательный результат:

$125 \cdot 100 = 12500$

Ответ: $12500$

3) $14,7 \cdot 13 - 2 \cdot 14,7 + 13 \cdot 5,3 - 2 \cdot 5,3$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями 14,7 и 5,3:

$(14,7 \cdot 13 - 2 \cdot 14,7) + (13 \cdot 5,3 - 2 \cdot 5,3)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$14,7 \cdot (13 - 2) + 5,3 \cdot (13 - 2)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(13 - 2)$:

$(14,7 + 5,3) \cdot (13 - 2)$

Вычислим значения в каждой скобке:

$14,7 + 5,3 = 20$

$13 - 2 = 11$

Перемножим полученные результаты:

$20 \cdot 11 = 220$

Ответ: $220$

4) $3\frac{1}{3} \cdot 4\frac{1}{5} + 4,2 \cdot \frac{2}{3} + 3\frac{1}{3} \cdot 2\frac{4}{5} + 2,8 \cdot \frac{2}{3}$

Для удобства вычислений преобразуем все десятичные и смешанные дроби в неправильные дроби:

$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

$4\frac{1}{5} = \frac{21}{5}$

$4,2 = 4\frac{2}{10} = 4\frac{1}{5} = \frac{21}{5}$

$2\frac{4}{5} = \frac{14}{5}$

$2,8 = 2\frac{8}{10} = 2\frac{4}{5} = \frac{14}{5}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{21}{5} + \frac{21}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{10}{3} \cdot \frac{14}{5} + \frac{14}{5} \cdot \frac{2}{3}$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями. Например, сгруппируем слагаемые с множителями $\frac{10}{3}$ и $\frac{2}{3}$:

$(\frac{10}{3} \cdot \frac{21}{5} + \frac{10}{3} \cdot \frac{14}{5}) + (\frac{21}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{14}{5} \cdot \frac{2}{3})$

Вынесем общие множители за скобки:

$\frac{10}{3} \cdot (\frac{21}{5} + \frac{14}{5}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{21}{5} + \frac{14}{5})$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(\frac{21}{5} + \frac{14}{5})$:

$(\frac{10}{3} + \frac{2}{3}) \cdot (\frac{21}{5} + \frac{14}{5})$

Вычислим значения в каждой из скобок:

$\frac{10}{3} + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$

$\frac{21}{5} + \frac{14}{5} = \frac{35}{5} = 7$

Перемножим полученные результаты:

$4 \cdot 7 = 28$

Ответ: $28$

514. Решить уравнение:

1) $(x^2 - 4x) + x - 4 = 0;$

2) $(x^2 + 7x) - 4x - 28 = 0;$

3) $5x^2 - 10x + (x - 2) = 0;$

4) $3x^2 + 12x - (x + 4) = 0.$

1) $(x^2 - 4x) + x - 4 = 0$

Данное уравнение можно решить методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $x$ за скобки. Вторую часть уравнения, $(x - 4)$, представим как $1 \cdot (x-4)$.

$x(x - 4) + 1(x - 4) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x - 4)$, который можно вынести за скобки:

$(x - 4)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения.

$x - 4 = 0$ или $x + 1 = 0$

Из первого уравнения получаем:

$x_1 = 4$

Из второго уравнения получаем:

$x_2 = -1$

Ответ: $-1; 4$.

2) $(x^2 + 7x) - 4x - 28 = 0$

Решим это уравнение методом группировки. В первой скобке $(x^2 + 7x)$ вынесем общий множитель $x$. В оставшейся части $(-4x - 28)$ вынесем общий множитель $-4$.

$x(x + 7) - 4(x + 7) = 0$

Теперь выносим общий множитель $(x + 7)$ за скобки:

$(x + 7)(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x + 7 = 0$ или $x - 4 = 0$

Решая эти простые линейные уравнения, находим корни:

$x_1 = -7$

$x_2 = 4$

Ответ: $-7; 4$.

3) $5x^2 - 10x + (x - 2) = 0$

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два члена $5x^2 - 10x$ и вынесем за скобки общий множитель $5x$.

$5x(x - 2) + 1(x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий биномиальный множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(5x + 1) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

$x - 2 = 0$ или $5x + 1 = 0$

Находим корни:

$x_1 = 2$

$5x = -1 \implies x_2 = - \frac{1}{5} = -0.2$

Ответ: $-0.2; 2$.

4) $3x^2 + 12x - (x + 4) = 0$

Снова используем метод группировки. В первых двух слагаемых $3x^2 + 12x$ вынесем общий множитель $3x$.

$3x(x + 4) - 1(x + 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 4)$ за скобки:

$(x + 4)(3x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 4 = 0$ или $3x - 1 = 0$

Находим корни уравнения:

$x_1 = -4$

$3x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{3}$

Ответ: $-4; \frac{1}{3}$.

515. Разделить разность многочленов $x^3 - 3x^2$ и $2x^2 - 6x$ на $x - 2$.

Для того чтобы разделить разность многочленов $x^3-3x^2$ и $2x^2-6x$ на $x-2$, необходимо выполнить два шага: сначала найти саму разность, а затем выполнить деление.

1. Нахождение разности многочленов

Вычтем из многочлена $x^3-3x^2$ многочлен $2x^2-6x$:

$(x^3-3x^2) - (2x^2-6x) = x^3 - 3x^2 - 2x^2 + 6x$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-3-2)x^2 + 6x = x^3 - 5x^2 + 6x$

Таким образом, разность многочленов, которую нам предстоит делить, равна $x^3 - 5x^2 + 6x$.

2. Деление полученного многочлена на $x-2$

Теперь нам нужно разделить многочлен $x^3 - 5x^2 + 6x$ на двучлен $x-2$. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Разложение на множители

Разложим многочлен $x^3 - 5x^2 + 6x$ на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 5x + 6)$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. По теореме Виета, его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$, так как их сумма равна 5 ($ -(-5)/1 $), а произведение равно 6 ($ 6/1 $). Поэтому:

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

В результате получаем:

$x^3 - 5x^2 + 6x = x(x-2)(x-3)$

Теперь выполним деление:

$\frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x-2} = \frac{x(x-2)(x-3)}{x-2}$

При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на $(x-2)$, и в результате получим:

$x(x-3) = x^2 - 3x$

Способ 2: Деление столбиком (уголком)

Этот метод является универсальным для деления многочленов. Разделим $x^3 - 5x^2 + 6x$ на $x-2$ столбиком:

 x³ - 5x² + 6x | x - 2-(x³ - 2x²) |--------- ---------- x² - 3x -3x² + 6x -(-3x² + 6x) ---------- 0

Деление показывает, что частное равно $x^2 - 3x$, а остаток равен 0. Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x^2 - 3x$

Разложить многочлен на множители (516–517).

516.

1) $x^2 + 3x + 2;$

2) $x^2 - 5x + 6;$

3) $x^2 - 7x - 8;$

4) $x^2 + 9x - 10.$

Чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, можно найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то разложение имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

1) $x^2 + 3x + 2$

Приравняем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 + 3x + 2 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Коэффициенты: $b=3$, $c=2$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Теперь найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Подставим найденные корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2 + 3x + 2 = 1 \cdot (x - (-1))(x - (-2)) = (x + 1)(x + 2)$.

Ответ: $(x + 1)(x + 2)$.

2) $x^2 - 5x + 6$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

Дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Выполним разложение на множители:

$x^2 - 5x + 6 = 1 \cdot (x - 3)(x - 2) = (x - 2)(x - 3)$.

Ответ: $(x - 2)(x - 3)$.

3) $x^2 - 7x - 8$

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-7$, $c=-8$.

Дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Выполним разложение на множители:

$x^2 - 7x - 8 = 1 \cdot (x - 8)(x - (-1)) = (x - 8)(x + 1)$.

Ответ: $(x + 1)(x - 8)$.

4) $x^2 + 9x - 10$

Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=9$, $c=-10$.

Дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Выполним разложение на множители:

$x^2 + 9x - 10 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-10)) = (x - 1)(x + 10)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 10)$.

517. 1) $a^3 + 2a^2 - 3;$

2) $x^3 - 7x + 6;$

3) $a^4 + 2a^3 + 1;$

4) $2a^4 - a^2 - 1.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $a^3 + 2a^2 - 3$, воспользуемся методом поиска целых корней. Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена. Делителями числа -3 являются $\pm1, \pm3$.

Проверим, является ли $a=1$ корнем многочлена, подставив это значение в выражение:

$1^3 + 2 \cdot 1^2 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

Поскольку получилось 0, $a=1$ является корнем, а значит, $(a-1)$ — один из множителей многочлена. Чтобы найти остальные множители, можно разделить многочлен $a^3 + 2a^2 - 3$ на $(a-1)$ или выполнить группировку слагаемых.

Представим $2a^2$ как $-a^2+3a^2$ и сгруппируем:

$a^3 + 2a^2 - 3 = a^3 - a^2 + 3a^2 - 3 = (a^3 - a^2) + (3a^2 - 3) = a^2(a-1) + 3(a^2-1)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2-1=(a-1)(a+1)$:

$a^2(a-1) + 3(a-1)(a+1)$.

Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a-1)(a^2 + 3(a+1)) = (a-1)(a^2 + 3a + 3)$.

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 + 3a + 3$. Для этого найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Так как дискриминант отрицательный, у трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на множители. Таким образом, разложение завершено.

Ответ: $(a-1)(a^2 + 3a + 3)$

2) Для разложения многочлена $x^3 - 7x + 6$ найдем его целые корни среди делителей свободного члена 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим $x=1$:

$1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$.

Корень $x=1$ найден, значит $(x-1)$ является множителем. Преобразуем многочлен, чтобы выделить этот множитель:

$x^3 - 7x + 6 = x^3 - x - 6x + 6 = x(x^2 - 1) - 6(x - 1)$.

Используем формулу разности квадратов для $x^2-1$:

$x(x-1)(x+1) - 6(x-1)$.

Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)(x(x+1) - 6) = (x-1)(x^2 + x - 6)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$. По теореме Виета, его корни $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять условиям $x_1 \cdot x_2 = -6$ и $x_1 + x_2 = -1$. Этим числам соответствуют $2$ и $-3$.

Таким образом, $x^2 + x - 6 = (x-2)(x-(-3)) = (x-2)(x+3)$.

Окончательное разложение многочлена:

$(x-1)(x-2)(x+3)$.

Ответ: $(x-1)(x-2)(x+3)$

3) Чтобы разложить на множители многочлен $a^4 + 2a^3 + 1$, найдем его целые корни среди делителей свободного члена 1: $\pm1$.

Проверим $a=-1$:

$(-1)^4 + 2(-1)^3 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Поскольку $a=-1$ является корнем, $(a+1)$ является множителем. Выполним группировку, чтобы выделить этот множитель:

$a^4 + 2a^3 + 1 = (a^4 + a^3) + (a^3 + 1) = a^3(a+1) + (a^3 + 1)$.

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к выражению $a^3+1$:

$a^3(a+1) + (a+1)(a^2 - a + 1)$.

Вынесем общий множитель $(a+1)$:

$(a+1)(a^3 + a^2 - a + 1)$.

Многочлен $a^3 + a^2 - a + 1$ не имеет рациональных корней (проверка значений при $a=\pm1$ дает не 0), поэтому он не раскладывается на множители с рациональными коэффициентами.

Ответ: $(a+1)(a^3 + a^2 - a + 1)$

4) Многочлен $2a^4 - a^2 - 1$ является биквадратным. Сделаем замену переменной $x = a^2$. Выражение примет вид:

$2x^2 - x - 1$.

Это квадратный трехчлен. Разложим его на множители, найдя корни уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Разложение квадратного трехчлена: $2(x-x_1)(x-x_2) = 2(x-1)(x+\frac{1}{2}) = (x-1)(2x+1)$.

Теперь выполним обратную замену $x = a^2$:

$(a^2 - 1)(2a^2 + 1)$.

Выражение $(a^2 - 1)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(a-1)(a+1)$.

Выражение $(2a^2 + 1)$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как оно всегда положительно.

Окончательное разложение:

$(a-1)(a+1)(2a^2+1)$.

Ответ: $(a-1)(a+1)(2a^2+1)$