Номер 514, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

514. Решить уравнение:

1) $(x^2 - 4x) + x - 4 = 0;$

2) $(x^2 + 7x) - 4x - 28 = 0;$

3) $5x^2 - 10x + (x - 2) = 0;$

4) $3x^2 + 12x - (x + 4) = 0.$

1) $(x^2 - 4x) + x - 4 = 0$

Данное уравнение можно решить методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $x$ за скобки. Вторую часть уравнения, $(x - 4)$, представим как $1 \cdot (x-4)$.

$x(x - 4) + 1(x - 4) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x - 4)$, который можно вынести за скобки:

$(x - 4)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения.

$x - 4 = 0$ или $x + 1 = 0$

Из первого уравнения получаем:

$x_1 = 4$

Из второго уравнения получаем:

$x_2 = -1$

Ответ: $-1; 4$.

2) $(x^2 + 7x) - 4x - 28 = 0$

Решим это уравнение методом группировки. В первой скобке $(x^2 + 7x)$ вынесем общий множитель $x$. В оставшейся части $(-4x - 28)$ вынесем общий множитель $-4$.

$x(x + 7) - 4(x + 7) = 0$

Теперь выносим общий множитель $(x + 7)$ за скобки:

$(x + 7)(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x + 7 = 0$ или $x - 4 = 0$

Решая эти простые линейные уравнения, находим корни:

$x_1 = -7$

$x_2 = 4$

Ответ: $-7; 4$.

3) $5x^2 - 10x + (x - 2) = 0$

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два члена $5x^2 - 10x$ и вынесем за скобки общий множитель $5x$.

$5x(x - 2) + 1(x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий биномиальный множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(5x + 1) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

$x - 2 = 0$ или $5x + 1 = 0$

Находим корни:

$x_1 = 2$

$5x = -1 \implies x_2 = - \frac{1}{5} = -0.2$

Ответ: $-0.2; 2$.

4) $3x^2 + 12x - (x + 4) = 0$

Снова используем метод группировки. В первых двух слагаемых $3x^2 + 12x$ вынесем общий множитель $3x$.

$3x(x + 4) - 1(x + 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 4)$ за скобки:

$(x + 4)(3x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 4 = 0$ или $3x - 1 = 0$

Находим корни уравнения:

$x_1 = -4$

$3x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{3}$

Ответ: $-4; \frac{1}{3}$.