Номер 515, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

515. Разделить разность многочленов $x^3 - 3x^2$ и $2x^2 - 6x$ на $x - 2$.

Для того чтобы разделить разность многочленов $x^3-3x^2$ и $2x^2-6x$ на $x-2$, необходимо выполнить два шага: сначала найти саму разность, а затем выполнить деление.

1. Нахождение разности многочленов

Вычтем из многочлена $x^3-3x^2$ многочлен $2x^2-6x$:

$(x^3-3x^2) - (2x^2-6x) = x^3 - 3x^2 - 2x^2 + 6x$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-3-2)x^2 + 6x = x^3 - 5x^2 + 6x$

Таким образом, разность многочленов, которую нам предстоит делить, равна $x^3 - 5x^2 + 6x$.

2. Деление полученного многочлена на $x-2$

Теперь нам нужно разделить многочлен $x^3 - 5x^2 + 6x$ на двучлен $x-2$. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Разложение на множители

Разложим многочлен $x^3 - 5x^2 + 6x$ на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 5x + 6)$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. По теореме Виета, его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$, так как их сумма равна 5 ($ -(-5)/1 $), а произведение равно 6 ($ 6/1 $). Поэтому:

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

В результате получаем:

$x^3 - 5x^2 + 6x = x(x-2)(x-3)$

Теперь выполним деление:

$\frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x-2} = \frac{x(x-2)(x-3)}{x-2}$

При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на $(x-2)$, и в результате получим:

$x(x-3) = x^2 - 3x$

Способ 2: Деление столбиком (уголком)

Этот метод является универсальным для деления многочленов. Разделим $x^3 - 5x^2 + 6x$ на $x-2$ столбиком:

 x³ - 5x² + 6x | x - 2-(x³ - 2x²) |--------- ---------- x² - 3x -3x² + 6x -(-3x² + 6x) ---------- 0

Деление показывает, что частное равно $x^2 - 3x$, а остаток равен 0. Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x^2 - 3x$