Номер 517, страница 165 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

517. 1) $a^3 + 2a^2 - 3;$

2) $x^3 - 7x + 6;$

3) $a^4 + 2a^3 + 1;$

4) $2a^4 - a^2 - 1.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $a^3 + 2a^2 - 3$, воспользуемся методом поиска целых корней. Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена. Делителями числа -3 являются $\pm1, \pm3$.

Проверим, является ли $a=1$ корнем многочлена, подставив это значение в выражение:

$1^3 + 2 \cdot 1^2 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

Поскольку получилось 0, $a=1$ является корнем, а значит, $(a-1)$ — один из множителей многочлена. Чтобы найти остальные множители, можно разделить многочлен $a^3 + 2a^2 - 3$ на $(a-1)$ или выполнить группировку слагаемых.

Представим $2a^2$ как $-a^2+3a^2$ и сгруппируем:

$a^3 + 2a^2 - 3 = a^3 - a^2 + 3a^2 - 3 = (a^3 - a^2) + (3a^2 - 3) = a^2(a-1) + 3(a^2-1)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2-1=(a-1)(a+1)$:

$a^2(a-1) + 3(a-1)(a+1)$.

Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a-1)(a^2 + 3(a+1)) = (a-1)(a^2 + 3a + 3)$.

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 + 3a + 3$. Для этого найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Так как дискриминант отрицательный, у трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на множители. Таким образом, разложение завершено.

Ответ: $(a-1)(a^2 + 3a + 3)$

2) Для разложения многочлена $x^3 - 7x + 6$ найдем его целые корни среди делителей свободного члена 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим $x=1$:

$1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$.

Корень $x=1$ найден, значит $(x-1)$ является множителем. Преобразуем многочлен, чтобы выделить этот множитель:

$x^3 - 7x + 6 = x^3 - x - 6x + 6 = x(x^2 - 1) - 6(x - 1)$.

Используем формулу разности квадратов для $x^2-1$:

$x(x-1)(x+1) - 6(x-1)$.

Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)(x(x+1) - 6) = (x-1)(x^2 + x - 6)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$. По теореме Виета, его корни $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять условиям $x_1 \cdot x_2 = -6$ и $x_1 + x_2 = -1$. Этим числам соответствуют $2$ и $-3$.

Таким образом, $x^2 + x - 6 = (x-2)(x-(-3)) = (x-2)(x+3)$.

Окончательное разложение многочлена:

$(x-1)(x-2)(x+3)$.

Ответ: $(x-1)(x-2)(x+3)$

3) Чтобы разложить на множители многочлен $a^4 + 2a^3 + 1$, найдем его целые корни среди делителей свободного члена 1: $\pm1$.

Проверим $a=-1$:

$(-1)^4 + 2(-1)^3 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Поскольку $a=-1$ является корнем, $(a+1)$ является множителем. Выполним группировку, чтобы выделить этот множитель:

$a^4 + 2a^3 + 1 = (a^4 + a^3) + (a^3 + 1) = a^3(a+1) + (a^3 + 1)$.

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к выражению $a^3+1$:

$a^3(a+1) + (a+1)(a^2 - a + 1)$.

Вынесем общий множитель $(a+1)$:

$(a+1)(a^3 + a^2 - a + 1)$.

Многочлен $a^3 + a^2 - a + 1$ не имеет рациональных корней (проверка значений при $a=\pm1$ дает не 0), поэтому он не раскладывается на множители с рациональными коэффициентами.

Ответ: $(a+1)(a^3 + a^2 - a + 1)$

4) Многочлен $2a^4 - a^2 - 1$ является биквадратным. Сделаем замену переменной $x = a^2$. Выражение примет вид:

$2x^2 - x - 1$.

Это квадратный трехчлен. Разложим его на множители, найдя корни уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Разложение квадратного трехчлена: $2(x-x_1)(x-x_2) = 2(x-1)(x+\frac{1}{2}) = (x-1)(2x+1)$.

Теперь выполним обратную замену $x = a^2$:

$(a^2 - 1)(2a^2 + 1)$.

Выражение $(a^2 - 1)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(a-1)(a+1)$.

Выражение $(2a^2 + 1)$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как оно всегда положительно.

Окончательное разложение:

$(a-1)(a+1)(2a^2+1)$.

Ответ: $(a-1)(a+1)(2a^2+1)$