Номер 2, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Разложение многочленов на множетели. Параграф 28. Формула разности квадратов. Вводные упражнения - номер 2, страница 167.

Условие.

2. Представить в виде квадрата одночлена:

1) $a^4$;

2) $b^6$;

3) $a^2b^8$;

4) $x^2y^{10}$.

Решение 1.

Решение 5.

1) Чтобы представить одночлен $a^4$ в виде квадрата другого одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении во вторую степень (в квадрат) даст исходный. Для этого воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{mn}$. Мы ищем одночлен $X$ такой, что $X^2 = a^4$. Пусть искомый одночлен имеет вид $a^k$. Тогда, согласно свойству степени, $(a^k)^2 = a^{2 \cdot k}$. Приравнивая это выражение к $a^4$, получаем уравнение для показателя степени: $a^{2k} = a^4$, что означает $2k = 4$. Решая это уравнение, находим $k=2$. Таким образом, одночлен, который в квадрате дает $a^4$, это $a^2$. Представление $a^4$ в виде квадрата одночлена будет выглядеть как $(a^2)^2$.
Проверка: $(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.
Ответ: $(a^2)^2$.

2) Аналогично предыдущему пункту, для одночлена $b^6$ ищем одночлен $Y$ такой, что $Y^2 = b^6$. Пусть $Y = b^k$. Тогда $(b^k)^2 = b^{2k}$. Приравнивая показатели степени, получаем $2k = 6$, откуда $k=3$. Следовательно, искомый одночлен — это $b^3$. Представление $b^6$ в виде квадрата будет $(b^3)^2$.
Проверка: $(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$.
Ответ: $(b^3)^2$.

3) Для одночлена $a^2b^8$, который является произведением степеней, воспользуемся свойством возведения в степень произведения: $(xy)^n = x^n y^n$. Нам нужно найти одночлен вида $X = a^k b^m$, чтобы его квадрат был равен $a^2b^8$.
$(a^k b^m)^2 = (a^k)^2 (b^m)^2 = a^{2k}b^{2m}$.
Приравниваем это выражение к $a^2b^8$: $a^{2k}b^{2m} = a^2b^8$.
Это равенство будет верным, если показатели степеней при одинаковых основаниях равны. Получаем систему из двух уравнений:
Для основания $a$: $2k = 2 \implies k = 1$.
Для основания $b$: $2m = 8 \implies m = 4$.
Таким образом, искомый одночлен — это $a^1b^4$ или просто $ab^4$. Представление в виде квадрата: $(ab^4)^2$.
Проверка: $(ab^4)^2 = a^2 \cdot (b^4)^2 = a^2b^{4 \cdot 2} = a^2b^8$.
Ответ: $(ab^4)^2$.

4) Для одночлена $x^2y^{10}$ поступаем так же, как и в пункте 3). Ищем одночлен $X = x^k y^m$ такой, что $X^2 = x^2y^{10}$.
$(x^k y^m)^2 = (x^k)^2 (y^m)^2 = x^{2k}y^{2m}$.
Приравниваем $x^{2k}y^{2m}$ к $x^2y^{10}$.
Сравнивая показатели степеней для каждого основания, получаем систему уравнений:
Для основания $x$: $2k = 2 \implies k = 1$.
Для основания $y$: $2m = 10 \implies m = 5$.
Искомый одночлен — это $x^1y^5$ или $xy^5$. Представление в виде квадрата: $(xy^5)^2$.
Проверка: $(xy^5)^2 = x^2 \cdot (y^5)^2 = x^2y^{5 \cdot 2} = x^2y^{10}$.
Ответ: $(xy^5)^2$.