Номер 3, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Записать в виде многочлена стандартного вида результат умножения:

1) $(x - 7)(x - 7);$

2) $(a - b)(a - b);$

3) $(m - 2)(m + 1);$

4) $(-2x + 3)(x - 4);$

5) $(3a - 5b)(b - 6a);$

6) $(3m - n)(3m + n).$

1) Для того, чтобы записать произведение $(x-7)(x-7)$ в виде многочлена стандартного вида, можно применить формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ или выполнить умножение "фонтанчиком".
Способ 1: по формуле
В данном случае $a=x$ и $b=7$.
$(x-7)(x-7) = (x-7)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 - 14x + 49$.
Способ 2: умножение многочленов
$(x-7)(x-7) = x \cdot x + x \cdot (-7) - 7 \cdot x - 7 \cdot (-7) = x^2 - 7x - 7x + 49$.
Приводим подобные члены: $-7x - 7x = -14x$.
Результат: $x^2 - 14x + 49$.
Ответ: $x^2 - 14x + 49$.

2) Выражение $(a-b)(a-b)$ представляет собой квадрат разности. Применим формулу сокращенного умножения $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
$(a-b)(a-b) = (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Полученный многочлен уже имеет стандартный вид.
Ответ: $a^2 - 2ab + b^2$.

3) Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.
$(m-2)(m+1) = m \cdot m + m \cdot 1 - 2 \cdot m - 2 \cdot 1 = m^2 + m - 2m - 2$.
Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $m$):
$m - 2m = -m$.
В результате получаем многочлен стандартного вида:
$m^2 - m - 2$.
Ответ: $m^2 - m - 2$.

4) Выполним умножение многочленов $(-2x+3)$ и $(x-4)$.
$(-2x+3)(x-4) = (-2x) \cdot x + (-2x) \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) = -2x^2 + 8x + 3x - 12$.
Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$):
$8x + 3x = 11x$.
Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней $x$:
$-2x^2 + 11x - 12$.
Ответ: $-2x^2 + 11x - 12$.

5) Умножим многочлен $(3a-5b)$ на $(b-6a)$.
$(3a-5b)(b-6a) = 3a \cdot b + 3a \cdot (-6a) - 5b \cdot b - 5b \cdot (-6a) = 3ab - 18a^2 - 5b^2 + 30ab$.
Приведем подобные члены (слагаемые с $ab$):
$3ab + 30ab = 33ab$.
Запишем полученные члены в стандартном виде многочлена (например, по убыванию степеней переменной $a$):
$-18a^2 + 33ab - 5b^2$.
Ответ: $-18a^2 + 33ab - 5b^2$.

6) В этом примере мы имеем произведение разности и суммы двух выражений. Это формула разности квадратов: $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$.
В нашем случае $A=3m$ и $B=n$.
$(3m-n)(3m+n) = (3m)^2 - n^2 = 9m^2 - n^2$.
Полученный многочлен $9m^2 - n^2$ является многочленом стандартного вида.
Ответ: $9m^2 - n^2$.