Номер 518, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Разложение многочленов на множетели. Параграф 28. Формула разности квадратов. Упражнения - номер 518, страница 167.

Условие.

518. Представить в виде квадрата одночлена:

1) $4a^2$; $9b^2$; $16c^2$; $0,04x^2$;

2) $\frac{1}{9}a^2b^2$; $0,25x^2y^2$; $0,16m^4$; $0,81n^6$;

3) $0,01a^4b^2$; $\frac{9}{16}x^2y^4$; $\frac{25}{49}x^6z^4$; $1\frac{9}{16}m^4n^6$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы представить одночлен в виде квадрата другого одночлена, необходимо извлечь квадратный корень из его числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 2. Это основано на свойстве степени $(a^m b^n)^k = a^{mk} b^{nk}$, где в нашем случае $k=2$.

1)

• Для одночлена $4a^2$: извлекаем квадратный корень из коэффициента $4$, что равно $2$. Степень переменной $a$ ($2$) делим на $2$, получая $a^{2/2} = a^1 = a$. Таким образом, $4a^2 = (2a)^2$.
• Для одночлена $9b^2$: корень из $9$ равен $3$. Степень переменной $b$ ($2$) делим на $2$: $b^{2/2} = b^1 = b$. Таким образом, $9b^2 = (3b)^2$.
• Для одночлена $16c^2$: корень из $16$ равен $4$. Степень переменной $c$ ($2$) делим на $2$: $c^{2/2} = c^1 = c$. Таким образом, $16c^2 = (4c)^2$.
• Для одночлена $0,04x^2$: корень из $0,04$ равен $0,2$. Степень переменной $x$ ($2$) делим на $2$: $x^{2/2} = x^1 = x$. Таким образом, $0,04x^2 = (0,2x)^2$.

Ответ: $(2a)^2$; $(3b)^2$; $(4c)^2$; $(0,2x)^2$.

2)

Применяем тот же самый метод для следующих одночленов.

• Для одночлена $\frac{1}{9}a^2b^2$: корень из коэффициента $\frac{1}{9}$ равен $\frac{1}{3}$. Степени переменных $a$ и $b$ делим на $2$: $a^{2/2} = a$ и $b^{2/2} = b$. В результате получаем $(\frac{1}{3}ab)^2$.
• Для одночлена $0,25x^2y^2$: корень из $0,25$ равен $0,5$. Степени переменных $x$ и $y$ делим на $2$: $x^{2/2} = x$ и $y^{2/2} = y$. В результате получаем $(0,5xy)^2$.
• Для одночлена $0,16m^4$: корень из $0,16$ равен $0,4$. Степень переменной $m$ делим на $2$: $m^{4/2} = m^2$. В результате получаем $(0,4m^2)^2$.
• Для одночлена $0,81n^6$: корень из $0,81$ равен $0,9$. Степень переменной $n$ делим на $2$: $n^{6/2} = n^3$. В результате получаем $(0,9n^3)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{3}ab)^2$; $(0,5xy)^2$; $(0,4m^2)^2$; $(0,9n^3)^2$.

3)

Продолжаем использовать тот же подход. В случае смешанной дроби, сначала преобразуем её в неправильную.

• Для одночлена $0,01a^4b^2$: корень из $0,01$ равен $0,1$. Степени переменных делим на $2$: $a^{4/2} = a^2$ и $b^{2/2} = b$. Получаем $(0,1a^2b)^2$.
• Для одночлена $\frac{9}{16}x^2y^4$: корень из дроби $\frac{9}{16}$ равен $\frac{3}{4}$. Степени переменных делим на $2$: $x^{2/2} = x$ и $y^{4/2} = y^2$. Получаем $(\frac{3}{4}xy^2)^2$.
• Для одночлена $\frac{25}{49}x^6z^4$: корень из дроби $\frac{25}{49}$ равен $\frac{5}{7}$. Степени переменных делим на $2$: $x^{6/2} = x^3$ и $z^{4/2} = z^2$. Получаем $(\frac{5}{7}x^3z^2)^2$.
• Для одночлена $1\frac{9}{16}m^4n^6$: сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$. Корень из $\frac{25}{16}$ равен $\frac{5}{4}$. Степени переменных делим на $2$: $m^{4/2} = m^2$ и $n^{6/2} = n^3$. Получаем $(\frac{5}{4}m^2n^3)^2$.

Ответ: $(0,1a^2b)^2$; $(\frac{3}{4}xy^2)^2$; $(\frac{5}{7}x^3z^2)^2$; $(\frac{5}{4}m^2n^3)^2$.