Страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Прочитать формулу:

1) квадрата суммы двух чисел;

2) квадрата разности двух чисел;

3) куба суммы двух чисел;

4) куба разности двух чисел.

1) квадрата суммы двух чисел

Чтобы записать эту формулу, обозначим два произвольных числа переменными, например, $a$ и $b$. Сумма этих двух чисел будет выражаться как $a + b$. Квадрат этой суммы записывается как $(a + b)^2$.

Это одна из формул сокращенного умножения. Словесно она читается так: «квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа».

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2) квадрата разности двух чисел

Аналогично предыдущему пункту, обозначим два числа как $a$ и $b$. Их разность будет $a - b$. Квадрат этой разности записывается как $(a - b)^2$.

Словесно формула читается: «квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа».

Ответ: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

3) куба суммы двух чисел

Пусть два числа — это $a$ и $b$. Их сумма равна $a + b$. Куб их суммы записывается в виде выражения $(a + b)^3$.

Формула куба суммы читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, плюс куб второго числа».

Ответ: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

4) куба разности двух чисел

Если два числа обозначить как $a$ и $b$, то их разность будет $a - b$. Куб этой разности записывается как $(a - b)^3$.

Формула куба разности читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа».

Ответ: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

2. При каких значениях $a$ и $b$ приближённое равенство $(a + b)^2 \approx a^2 + 2ab$ используют для вычислений?

Для анализа данного приближенного равенства начнем с точной формулы квадрата суммы, известной как формула сокращенного умножения:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Приближенное равенство, указанное в задаче, имеет вид:
$(a + b)^2 \approx a^2 + 2ab$

Сравнивая точную формулу с приближенной, мы видим, что в приближенном равенстве отсутствует слагаемое $b^2$. Это означает, что данное приближение получается путем отбрасывания (пренебрежения) члена $b^2$.

Такая операция оправдана и дает хороший результат только в том случае, если отбрасываемое слагаемое $b^2$ является пренебрежимо малым по сравнению с той частью, которая остается ($a^2 + 2ab$). Чтобы величина $b^2$ была очень маленькой, необходимо, чтобы само число $b$ было малым по модулю.

Однако "малость" — понятие относительное. Величина $b^2$ должна быть малой не сама по себе, а по сравнению с другими слагаемыми. Это условие выполняется, когда модуль числа $b$ значительно меньше модуля числа $a$. В математике это записывают как $|b| \ll |a|$.

Если $|b|$ намного меньше, чем $|a|$, то $b^2$ будет тем более намного меньше, чем $a^2$. Также $b^2$ будет мало по сравнению с $2ab$. Таким образом, основной сценарий использования этой формулы — это вычисление квадрата числа, которое можно представить в виде суммы "большого" числа $a$ и "малой" добавки $b$.

Пример:
Допустим, нам нужно вычислить $101.2^2$.
Мы можем представить $101.2$ как $100 + 1.2$. В этом случае $a = 100$ и $b = 1.2$.
Здесь $|b| = 1.2$, а $|a| = 100$. Условие $|b| \ll |a|$ не выполняется очень строго, но $b$ все же значительно меньше $a$.
Применим приближенную формулу:
$101.2^2 = (100 + 1.2)^2 \approx 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1.2 = 10000 + 240 = 10240$
Точное значение: $101.2^2 = 10241.44$.
Ошибка вычисления составила $10241.44 - 10240 = 1.44$, что в точности равно $b^2 = (1.2)^2$.

Рассмотрим другой пример, где условие выполняется лучше: вычислим $(20.01)^2$.
Здесь $a = 20$ и $b = 0.01$. Очевидно, что $0.01 \ll 20$.
$(20 + 0.01)^2 \approx 20^2 + 2 \cdot 20 \cdot 0.01 = 400 + 0.4 = 400.4$
Точное значение: $(20.01)^2 = 400.4001$.
Ошибка равна $b^2 = (0.01)^2 = 0.0001$. Как видно, в этом случае приближение очень точное.

Ответ: Приближенное равенство $(a + b)^2 \approx a^2 + 2ab$ используют для вычислений при таких значениях $a$ и $b$, когда модуль одного слагаемого (в данной записи $b$) значительно меньше модуля другого слагаемого (в данной записи $a$). Это условие математически записывается как $|b| \ll |a|$.

3. С помощью рисунка 18 обосновать справедливость формулы квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Формула квадрата суммы, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, может быть наглядно обоснована с помощью геометрической интерпретации, как это обычно демонстрируется на рисунке, подобном рисунку 18.

Рассмотрим квадрат, сторона которого равна сумме длин двух отрезков $a$ и $b$. Таким образом, длина стороны этого большого квадрата составляет $(a+b)$.

Площадь этого квадрата, как известно, равна квадрату его стороны. Следовательно, его площадь $S_{общ}$ равна: $S_{общ} = (a+b)^2$

Теперь разделим каждую сторону этого квадрата на отрезки длиной $a$ и $b$. Если провести через точки деления прямые, параллельные сторонам квадрата, то большой квадрат разобьется на четыре меньшие фигуры:

• Один квадрат со стороной $a$, расположенный в одном из углов. Его площадь равна $S_1 = a \cdot a = a^2$.
• Один квадрат со стороной $b$, расположенный в противоположном по диагонали углу. Его площадь равна $S_2 = b \cdot b = b^2$.
• Два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь каждого из этих прямоугольников равна $S_3 = S_4 = a \cdot b$.

Общая площадь большого квадрата также может быть вычислена как сумма площадей четырех составляющих его фигур:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$

Поскольку мы двумя разными способами вычислили площадь одной и той же фигуры, полученные выражения должны быть равны. Приравняв их, мы получаем тождество:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, с помощью геометрического построения мы обосновали справедливость формулы квадрата суммы для любых положительных $a$ и $b$.

Ответ: Справедливость формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ обосновывается геометрически. Площадь квадрата со стороной $(a+b)$ равна $(a+b)^2$. С другой стороны, этот же квадрат можно разбить на части: квадрат со стороной $a$ (площадь $a^2$), квадрат со стороной $b$ (площадь $b^2$) и два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (каждый площадью $ab$). Сумма площадей этих частей, $a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$, также равна площади большого квадрата. Приравнивая два выражения для площади, мы подтверждаем справедливость формулы.

4. Создать геометрическое обоснование формулы квадрата разности.

Геометрическое обоснование формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ можно продемонстрировать с помощью площадей геометрических фигур. Для этого рассмотрим квадрат со стороной $a$, где $a > b > 0$. Площадь этого квадрата равна $a^2$.

Мы хотим найти площадь квадрата со стороной $(a-b)$. Эту площадь можно получить, если из площади большого квадрата со стороной $a$ вычесть "лишние" части. Процесс можно описать следующим образом:

1. Начнем с площади большого квадрата: $a^2$.

2. Чтобы получить сторону длиной $(a-b)$, мы должны от стороны $a$ отнять отрезок длиной $b$. Геометрически это соответствует удалению из большого квадрата прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь этого прямоугольника равна $ab$. Вычтем ее: $a^2 - ab$.

3. Мы должны сделать это для двух смежных сторон, чтобы получить квадрат со стороной $(a-b)$. Поэтому вычтем еще один прямоугольник со сторонами $a$ и $b$.

При вычитании двух таких прямоугольников (одного "вертикального" и одного "горизонтального") возникает нюанс: область их пересечения, которая представляет собой маленький квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$, оказывается вычтенной дважды.

4. Чтобы скомпенсировать это двойное вычитание, площадь этого маленького квадрата $b^2$ необходимо один раз прибавить обратно.

Таким образом, площадь искомого квадрата со стороной $(a-b)$ выражается как площадь большого квадрата минус площади двух прямоугольников плюс площадь их дважды вычтенного пересечения:

$(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2$

Упрощая это выражение, мы получаем тождество, которое и требовалось доказать:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: Геометрическое доказательство формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ основано на вычислении площади квадрата со стороной $(a-b)$. Эта площадь получается, если из площади большего квадрата со стороной $a$ (равной $a^2$) вычесть площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ (каждый площадью $ab$). При таком вычитании квадрат со стороной $b$ (площадью $b^2$), являющийся их пересечением, вычитается дважды. Поэтому его площадь нужно добавить обратно. В результате получаем выражение: $a^2 - ab - ab + b^2$, которое равно $a^2 - 2ab + b^2$.

1. Найти значение выражения $a^2$, если $a$ равно: 8; -7; $1\frac{2}{3}$; -0,9.

Для того чтобы найти значение выражения $a^2$, необходимо подставить заданные значения переменной $a$ в это выражение и выполнить операцию возведения в квадрат.

При $a = 8$
Подставляем значение $a=8$ в выражение:
$a^2 = 8^2 = 8 \cdot 8 = 64$
Ответ: 64.

При $a = -7$
Подставляем значение $a=-7$ в выражение. При возведении отрицательного числа в квадрат, результат будет положительным.
$a^2 = (-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49$
Ответ: 49.

При $a = 1\frac{2}{3}$
Сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
Теперь подставляем полученное значение и возводим в квадрат. Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель.
$a^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$
Результат можно представить в виде смешанного числа:
$\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$
Ответ: $2\frac{7}{9}$.

При $a = -0,9$
Подставляем значение $a=-0,9$ в выражение.
$a^2 = (-0,9)^2 = (-0,9) \cdot (-0,9) = 0,81$
Ответ: 0,81.

2. Заполнить пропуск одночленом стандартного вида:

1) $6ab = 2 \cdot \Box$; 2) $-10x^2y = 2 \cdot \Box$; 3) $17xy^3 = 2 \cdot \Box$;

4) $0,1ab = 2 \cdot \Box$; 5) $12x^2y = 3 \cdot \Box$; 6) $mn^2 = 3 \cdot \Box$.

1) В равенстве $6ab = 2 \cdot \square$ необходимо найти второй множитель. Для этого нужно произведение ($6ab$) разделить на известный множитель ($2$).
$\frac{6ab}{2} = \frac{6}{2} \cdot ab = 3ab$.
Следовательно, в пропуск нужно вписать одночлен $3ab$.
Ответ: $3ab$

2) В равенстве $-10x^2y = 2 \cdot \square$ искомый одночлен является неизвестным множителем. Чтобы его найти, необходимо произведение ($-10x^2y$) разделить на известный множитель ($2$).
$\frac{-10x^2y}{2} = \frac{-10}{2} \cdot x^2y = -5x^2y$.
Следовательно, в пропуск нужно вписать одночлен $-5x^2y$.
Ответ: $-5x^2y$

3) В равенстве $17xy^3 = 2 \cdot \square$ искомый одночлен является неизвестным множителем. Чтобы его найти, необходимо произведение ($17xy^3$) разделить на известный множитель ($2$).
$\frac{17xy^3}{2} = \frac{17}{2}xy^3 = 8.5xy^3$.
Следовательно, в пропуск нужно вписать одночлен $8.5xy^3$.
Ответ: $8.5xy^3$

4) В равенстве $0.1ab = 2 \cdot \square$ необходимо найти второй множитель. Для этого нужно произведение ($0.1ab$) разделить на известный множитель ($2$).
$\frac{0.1ab}{2} = \frac{0.1}{2} \cdot ab = 0.05ab$.
Следовательно, в пропуск нужно вписать одночлен $0.05ab$.
Ответ: $0.05ab$

5) В равенстве $12x^2y = 3 \cdot \square$ искомый одночлен является неизвестным множителем. Чтобы его найти, необходимо произведение ($12x^2y$) разделить на известный множитель ($3$).
$\frac{12x^2y}{3} = \frac{12}{3} \cdot x^2y = 4x^2y$.
Следовательно, в пропуск нужно вписать одночлен $4x^2y$.
Ответ: $4x^2y$

6) В равенстве $mn^2 = 3 \cdot \square$ искомый одночлен является неизвестным множителем. Коэффициент одночлена $mn^2$ равен 1. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($1 \cdot mn^2$) разделить на известный множитель ($3$).
$\frac{mn^2}{3} = \frac{1}{3}mn^2$.
Следовательно, в пропуск нужно вписать одночлен $\frac{1}{3}mn^2$.
Ответ: $\frac{1}{3}mn^2$

3. Записать в виде квадрата одночлена:

1) $m^{12}$;

2) $n^{6}$;

3) $9a^2b^4$;

4) $16x^6y^{10}$.

1) Чтобы представить одночлен $m^{12}$ в виде квадрата, воспользуемся свойством степени $(a^n)^k = a^{nk}$. Нам нужно найти такое выражение $A$, чтобы $A^2 = m^{12}$. Пусть $A = m^k$. Тогда $(m^k)^2 = m^{2k}$. Приравнивая показатели степени, получаем $2k = 12$, откуда $k = 12 / 2 = 6$. Таким образом, искомое выражение — это $(m^6)^2$.
Ответ: $(m^6)^2$.

2) Аналогично предыдущему примеру, для одночлена $n^6$ ищем такое $k$, чтобы $(n^k)^2 = n^6$. Из этого следует, что $2k=6$, и $k = 6 / 2 = 3$. Значит, $n^6$ можно записать как квадрат одночлена $n^3$.
Ответ: $(n^3)^2$.

3) Для того чтобы представить одночлен $9a^2b^4$ в виде квадрата, необходимо найти квадратный корень из каждого множителя.

• Квадратный корень из коэффициента 9 равен 3, так как $3^2=9$.
• Для переменной $a^2$ корень равен $a^{2/2} = a^1 = a$.
• Для переменной $b^4$ корень равен $b^{4/2} = b^2$.

Соединив эти части, получаем одночлен $3ab^2$. Проверим: $(3ab^2)^2 = 3^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 9a^2b^4$.
Ответ: $(3ab^2)^2$.

4) Для одночлена $16x^6y^{10}$ действуем по той же схеме — извлекаем квадратный корень из каждого множителя.

• Квадратный корень из коэффициента 16 равен 4, так как $4^2=16$.
• Для переменной $x^6$ корень равен $x^{6/2} = x^3$.
• Для переменной $y^{10}$ корень равен $y^{10/2} = y^5$.

Объединяя результаты, получаем одночлен $4x^3y^5$. Проверим: $(4x^3y^5)^2 = 4^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^5)^2 = 16x^6y^{10}$.
Ответ: $(4x^3y^5)^2$.

4. Записать в виде куба одночлена:

1) $m^{12}$;

2) $n^{21}$;

3) $64x^3y^{24}$;

4) $\frac{1}{8}a^6y^{30}$.

1)
Чтобы представить одночлен $m^{12}$ в виде куба другого одночлена, нужно найти такой одночлен $A$, что $A^3 = m^{12}$. Используем свойство возведения степени в степень: $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$. Искомый одночлен будет иметь вид $m^k$. Тогда $(m^k)^3 = m^{3k}$. Приравнивая показатели степеней, получаем $3k = 12$, откуда $k = \frac{12}{3} = 4$. Таким образом, $m^{12} = (m^4)^3$.
Ответ: $(m^4)^3$.

2)
По аналогии с предыдущим заданием, для представления $n^{21}$ в виде куба ищем одночлен $A=n^k$ такой, что $(n^k)^3 = n^{21}$. Это приводит к уравнению $3k = 21$ для показателей степеней. Решая его, получаем $k = \frac{21}{3} = 7$. Следовательно, $n^{21} = (n^7)^3$.
Ответ: $(n^7)^3$.

3)
Чтобы представить одночлен $64x^3y^{24}$ в виде куба, необходимо извлечь кубический корень из каждого его множителя: числового коэффициента и каждой переменной в соответствующей степени. Для этого используем свойство $(a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n$.
1. Кубический корень из 64 равен 4, так как $4^3 = 64$.
2. Для $x^3$ показатель степени делится на 3: $3/3=1$. Получаем $x^1$ или $x$.
3. Для $y^{24}$ показатель степени делится на 3: $24/3=8$. Получаем $y^8$.
Собирая все множители, получаем искомый одночлен $4xy^8$. Таким образом, $64x^3y^{24} = (4xy^8)^3$.
Ответ: $(4xy^8)^3$.

4)
Для одночлена $\frac{1}{8}a^6y^{30}$ применяем тот же подход.
1. Кубический корень из коэффициента $\frac{1}{8}$ равен $\frac{1}{2}$, так как $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
2. Для $a^6$ делим показатель на 3: $6/3=2$. Получаем $a^2$.
3. Для $y^{30}$ делим показатель на 3: $30/3=10$. Получаем $y^{10}$.
Итоговый одночлен, который нужно возвести в куб, это $\frac{1}{2}a^2y^{10}$. Следовательно, $\frac{1}{8}a^6y^{30} = (\frac{1}{2}a^2y^{10})^3$.
Ответ: $(\frac{1}{2}a^2y^{10})^3$.

5. Разложить на множители:

1) $-4a^8b + 12a^2b^3c;$

2) $-20x^6y - 35x^6;$

3) $7xy - y + 21x - 3;$

4) $12x^2 + 6y - 2x^2y - y^2;$

5) $16x^3 - xy^2;$

6) $a^3b - 25ab^3.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $-4a^8b + 12a^2b^3c$, необходимо найти общий множитель для обоих членов. Наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов -4 и 12 равен 4. Для переменных находим наименьшую степень каждого основания: для $a$ это $a^2$, для $b$ это $b^1$ или просто $b$. Таким образом, общий множитель — $4a^2b$. Часто для удобства выносят знак минус, если он стоит у первого члена. Вынесем за скобки $-4a^2b$. Для этого каждый член многочлена разделим на $-4a^2b$:

Первый член: $\frac{-4a^8b}{-4a^2b} = a^{8-2}b^{1-1} = a^6$.

Второй член: $\frac{12a^2b^3c}{-4a^2b} = -3a^{2-2}b^{3-1}c = -3b^2c$.

Собираем выражение: $-4a^2b(a^6 - 3b^2c)$.

Ответ: $-4a^2b(a^6 - 3b^2c)$

2) В выражении $-20x^6y - 35x^6$ найдем общий множитель. НОД для коэффициентов -20 и -35 равен 5. Общая переменная в одинаковой степени для обоих членов — это $x^6$. Вынесем за скобки общий множитель $-5x^6$:

Первый член: $\frac{-20x^6y}{-5x^6} = 4y$.

Второй член: $\frac{-35x^6}{-5x^6} = 7$.

В результате получаем: $-5x^6(4y + 7)$.

Ответ: $-5x^6(4y + 7)$

3) Для разложения многочлена $7xy - y + 21x - 3$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем попарно члены, имеющие общие множители:

$(7xy - y) + (21x - 3)$

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $y$, а из второй группы — общий множитель 3:

$y(7x - 1) + 3(7x - 1)$

Теперь мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель в виде скобки $(7x - 1)$. Вынесем эту скобку:

$(7x - 1)(y + 3)$

Ответ: $(7x - 1)(y + 3)$

4) В выражении $12x^2 + 6y - 2x^2y - y^2$ также используем метод группировки. Для удобства переставим члены местами, чтобы сгруппировать их по общим переменным:

$(12x^2 - 2x^2y) + (6y - y^2)$

Из первой группы выносим общий множитель $2x^2$. Из второй группы выносим общий множитель $y$:

$2x^2(6 - y) + y(6 - y)$

Теперь общим множителем является скобка $(6 - y)$. Выносим ее за скобки:

$(6 - y)(2x^2 + y)$

Ответ: $(6 - y)(2x^2 + y)$

5) В выражении $16x^3 - xy^2$ сначала вынесем за скобки общий множитель. Здесь это переменная $x$:

$x(16x^2 - y^2)$

Выражение в скобках, $16x^2 - y^2$, является разностью квадратов. Его можно представить в виде $(4x)^2 - (y)^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a = 4x$ и $b = y$.

$(4x - y)(4x + y)$

Подставим полученное разложение обратно в выражение:

$x(4x - y)(4x + y)$

Ответ: $x(4x - y)(4x + y)$

6) В выражении $a^3b - 25ab^3$ найдем и вынесем за скобки общий множитель. Общим для обоих членов является $ab$:

$ab(a^2 - 25b^2)$

Выражение в скобках, $a^2 - 25b^2$, представляет собой разность квадратов, так как его можно записать в виде $(a)^2 - (5b)^2$.

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = a$ и $B = 5b$.

$(a - 5b)(a + 5b)$

Окончательный вид разложения на множители:

$ab(a - 5b)(a + 5b)$

Ответ: $ab(a - 5b)(a + 5b)$