Номер 2, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

2. При каких значениях $a$ и $b$ приближённое равенство $(a + b)^2 \approx a^2 + 2ab$ используют для вычислений?

Для анализа данного приближенного равенства начнем с точной формулы квадрата суммы, известной как формула сокращенного умножения:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Приближенное равенство, указанное в задаче, имеет вид:
$(a + b)^2 \approx a^2 + 2ab$

Сравнивая точную формулу с приближенной, мы видим, что в приближенном равенстве отсутствует слагаемое $b^2$. Это означает, что данное приближение получается путем отбрасывания (пренебрежения) члена $b^2$.

Такая операция оправдана и дает хороший результат только в том случае, если отбрасываемое слагаемое $b^2$ является пренебрежимо малым по сравнению с той частью, которая остается ($a^2 + 2ab$). Чтобы величина $b^2$ была очень маленькой, необходимо, чтобы само число $b$ было малым по модулю.

Однако "малость" — понятие относительное. Величина $b^2$ должна быть малой не сама по себе, а по сравнению с другими слагаемыми. Это условие выполняется, когда модуль числа $b$ значительно меньше модуля числа $a$. В математике это записывают как $|b| \ll |a|$.

Если $|b|$ намного меньше, чем $|a|$, то $b^2$ будет тем более намного меньше, чем $a^2$. Также $b^2$ будет мало по сравнению с $2ab$. Таким образом, основной сценарий использования этой формулы — это вычисление квадрата числа, которое можно представить в виде суммы "большого" числа $a$ и "малой" добавки $b$.

Пример:
Допустим, нам нужно вычислить $101.2^2$.
Мы можем представить $101.2$ как $100 + 1.2$. В этом случае $a = 100$ и $b = 1.2$.
Здесь $|b| = 1.2$, а $|a| = 100$. Условие $|b| \ll |a|$ не выполняется очень строго, но $b$ все же значительно меньше $a$.
Применим приближенную формулу:
$101.2^2 = (100 + 1.2)^2 \approx 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1.2 = 10000 + 240 = 10240$
Точное значение: $101.2^2 = 10241.44$.
Ошибка вычисления составила $10241.44 - 10240 = 1.44$, что в точности равно $b^2 = (1.2)^2$.

Рассмотрим другой пример, где условие выполняется лучше: вычислим $(20.01)^2$.
Здесь $a = 20$ и $b = 0.01$. Очевидно, что $0.01 \ll 20$.
$(20 + 0.01)^2 \approx 20^2 + 2 \cdot 20 \cdot 0.01 = 400 + 0.4 = 400.4$
Точное значение: $(20.01)^2 = 400.4001$.
Ошибка равна $b^2 = (0.01)^2 = 0.0001$. Как видно, в этом случае приближение очень точное.

Ответ: Приближенное равенство $(a + b)^2 \approx a^2 + 2ab$ используют для вычислений при таких значениях $a$ и $b$, когда модуль одного слагаемого (в данной записи $b$) значительно меньше модуля другого слагаемого (в данной записи $a$). Это условие математически записывается как $|b| \ll |a|$.