Номер 4, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Создать геометрическое обоснование формулы квадрата разности.

Геометрическое обоснование формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ можно продемонстрировать с помощью площадей геометрических фигур. Для этого рассмотрим квадрат со стороной $a$, где $a > b > 0$. Площадь этого квадрата равна $a^2$.

Мы хотим найти площадь квадрата со стороной $(a-b)$. Эту площадь можно получить, если из площади большого квадрата со стороной $a$ вычесть "лишние" части. Процесс можно описать следующим образом:

1. Начнем с площади большого квадрата: $a^2$.

2. Чтобы получить сторону длиной $(a-b)$, мы должны от стороны $a$ отнять отрезок длиной $b$. Геометрически это соответствует удалению из большого квадрата прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь этого прямоугольника равна $ab$. Вычтем ее: $a^2 - ab$.

3. Мы должны сделать это для двух смежных сторон, чтобы получить квадрат со стороной $(a-b)$. Поэтому вычтем еще один прямоугольник со сторонами $a$ и $b$.

При вычитании двух таких прямоугольников (одного "вертикального" и одного "горизонтального") возникает нюанс: область их пересечения, которая представляет собой маленький квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$, оказывается вычтенной дважды.

4. Чтобы скомпенсировать это двойное вычитание, площадь этого маленького квадрата $b^2$ необходимо один раз прибавить обратно.

Таким образом, площадь искомого квадрата со стороной $(a-b)$ выражается как площадь большого квадрата минус площади двух прямоугольников плюс площадь их дважды вычтенного пересечения:

$(a-b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2$

Упрощая это выражение, мы получаем тождество, которое и требовалось доказать:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: Геометрическое доказательство формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ основано на вычислении площади квадрата со стороной $(a-b)$. Эта площадь получается, если из площади большего квадрата со стороной $a$ (равной $a^2$) вычесть площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ (каждый площадью $ab$). При таком вычитании квадрат со стороной $b$ (площадью $b^2$), являющийся их пересечением, вычитается дважды. Поэтому его площадь нужно добавить обратно. В результате получаем выражение: $a^2 - ab - ab + b^2$, которое равно $a^2 - 2ab + b^2$.