Номер 536, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 28. Формула разности квадратов. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 536, страница 168.

Условие.

536. Разложить на множители:

1) $(a+b)^3 - (a-b)^3 - 8b^3;$

2) $(a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2 - a^2;$

3) $(a^4+b^4)^2 - (a^4-b^4)^2 - a^2b^2;$

4) $9a^4 - 13a^2b^2 + 4b^4.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(a+b)^3 - (a-b)^3 - 8b^3$

Сначала раскроем кубы первых двух слагаемых, используя формулы куба суммы и куба разности: $(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3$.

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Вычтем второе из первого:

$(a+b)^3 - (a-b)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 = 6a^2b + 2b^3$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(6a^2b + 2b^3) - 8b^3 = 6a^2b - 6b^3$.

Вынесем общий множитель $6b$ за скобки:

$6b(a^2 - b^2)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$6b(a-b)(a+b)$.

Ответ: $6b(a-b)(a+b)$.

2) $(a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2 - a^2$

К первым двум слагаемым применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a^2+b^2$ и $y = a^2-b^2$.

$(a^2+b^2)^2 - (a^2-b^2)^2 = ((a^2+b^2) - (a^2-b^2))((a^2+b^2) + (a^2-b^2)) = (a^2+b^2-a^2+b^2)(a^2+b^2+a^2-b^2) = (2b^2)(2a^2) = 4a^2b^2$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$4a^2b^2 - a^2$.

Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:

$a^2(4b^2 - 1)$.

Выражение в скобках является разностью квадратов $4b^2 - 1 = (2b)^2 - 1^2 = (2b-1)(2b+1)$.

Таким образом, получаем:

$a^2(2b-1)(2b+1)$.

Ответ: $a^2(2b-1)(2b+1)$.

3) $(a^4+b^4)^2 - (a^4-b^4)^2 - a^2b^2$

Это выражение похоже на предыдущее. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ к первым двум членам, где $x = a^4+b^4$ и $y = a^4-b^4$.

$(a^4+b^4)^2 - (a^4-b^4)^2 = ((a^4+b^4) - (a^4-b^4))((a^4+b^4) + (a^4-b^4)) = (a^4+b^4-a^4+b^4)(a^4+b^4+a^4-b^4) = (2b^4)(2a^4) = 4a^4b^4$.

Подставим результат в исходное выражение:

$4a^4b^4 - a^2b^2$.

Вынесем общий множитель $a^2b^2$ за скобки:

$a^2b^2(4a^2b^2 - 1)$.

Выражение в скобках — это разность квадратов $4a^2b^2 - 1 = (2ab)^2 - 1^2 = (2ab-1)(2ab+1)$.

В итоге получаем:

$a^2b^2(2ab-1)(2ab+1)$.

Ответ: $a^2b^2(2ab-1)(2ab+1)$.

4) $9a^4 - 13a^2b^2 + 4b^4$

Это выражение является биквадратным трехчленом. Представим средний член $-13a^2b^2$ в виде суммы $-9a^2b^2 - 4a^2b^2$ и сгруппируем слагаемые:

$9a^4 - 9a^2b^2 - 4a^2b^2 + 4b^4 = (9a^4 - 9a^2b^2) - (4a^2b^2 - 4b^4)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$9a^2(a^2 - b^2) - 4b^2(a^2 - b^2)$.

Теперь вынесем общий множитель $(a^2 - b^2)$ за скобки:

$(a^2 - b^2)(9a^2 - 4b^2)$.

Оба множителя в скобках являются разностями квадратов. Разложим каждый из них:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

$9a^2 - 4b^2 = (3a)^2 - (2b)^2 = (3a-2b)(3a+2b)$

Объединяем все множители:

$(a-b)(a+b)(3a-2b)(3a+2b)$.

Ответ: $(a-b)(a+b)(3a-2b)(3a+2b)$.