Номер 531, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

531. Решить уравнение:

1) $(x-1)(x+1) = x^2 - 2(x-3)$;

2) $3(x+5) - x^2 = (2-x)(2+x)$;

3) $(2x+3)(2x+3) - 4(x-1)(x+1) = 49$;

4) $(3x+1)(3x+1) - (3x-2)(2+3x) = 17$.

1) $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 2(x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В правой части распределим множитель $-2$.

$x^2 - 1^2 = x^2 - 2 \cdot x - 2 \cdot (-3)$

$x^2 - 1 = x^2 - 2x + 6$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую. Обратим внимание, что $x^2$ присутствует в обеих частях и взаимно уничтожается.

$x^2 - x^2 + 2x = 6 + 1$

Приведем подобные слагаемые.

$2x = 7$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2.

$x = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: $3.5$.

2) $3(x + 5) - x^2 = (2 - x)(2 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$3x + 15 - x^2 = 2^2 - x^2$

$3x + 15 - x^2 = 4 - x^2$

Прибавим $x^2$ к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от квадратичных членов.

$3x + 15 = 4$

Перенесем 15 в правую часть с противоположным знаком.

$3x = 4 - 15$

$3x = -11$

Разделим обе части на 3.

$x = -\frac{11}{3}$

Ответ: $-\frac{11}{3}$.

3) $(2x + 3)(2x + 3) - 4(x - 1)(x + 1) = 49$

Упростим левую часть уравнения. Выражение $(2x + 3)(2x + 3)$ является квадратом суммы $(2x+3)^2$, а выражение $(x-1)(x+1)$ — разностью квадратов $x^2-1$.

$(2x + 3)^2 - 4(x^2 - 1) = 49$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(4x^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 9) - 4(x^2 - 1) = 49$

$4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 + 4 = 49$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$(4x^2 - 4x^2) + 12x + (9 + 4) = 49$

$12x + 13 = 49$

Перенесем 13 в правую часть.

$12x = 49 - 13$

$12x = 36$

Найдем $x$, разделив обе части на 12.

$x = \frac{36}{12} = 3$

Ответ: $3$.

4) $(3x + 1)(3x + 1) - (3x - 2)(2 + 3x) = 17$

Упростим левую часть уравнения. Первое слагаемое — это квадрат суммы $(3x+1)^2$. Второе слагаемое — это произведение разности и суммы, $(3x-2)(3x+2)$, что равно разности квадратов.

$(3x + 1)^2 - (3x - 2)(3x + 2) = 17$

Раскроем скобки, используя соответствующие формулы сокращенного умножения.

$(9x^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1) - ((3x)^2 - 2^2) = 17$

$(9x^2 + 6x + 1) - (9x^2 - 4) = 17$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные.

$9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 + 4 = 17$

Приведем подобные слагаемые.

$(9x^2 - 9x^2) + 6x + (1 + 4) = 17$

$6x + 5 = 17$

Перенесем 5 в правую часть.

$6x = 17 - 5$

$6x = 12$

Найдем $x$, разделив обе части на 6.

$x = \frac{12}{6} = 2$

Ответ: $2$.