Номер 535, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 28. Формула разности квадратов. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 535, страница 168.

Условие.

535. Доказать, что число $(7n+1)^2 - (2n-4)^2$ делится на 15 при любом натуральном $n$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что число $(7n + 1)^2 - (2n - 4)^2$ делится на 15 при любом натуральном $n$, преобразуем данное выражение, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 7n + 1$ и $b = 2n - 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$(7n + 1)^2 - (2n - 4)^2 = ((7n + 1) - (2n - 4)) \cdot ((7n + 1) + (2n - 4))$

Упростим выражения в каждой из скобок.

Разность:

$7n + 1 - 2n + 4 = 5n + 5$

Сумма:

$7n + 1 + 2n - 4 = 9n - 3$

Теперь наше выражение имеет вид произведения двух скобок:

$(5n + 5)(9n - 3)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки:

$5(n + 1) \cdot 3(3n - 1)$

Перегруппируем множители, чтобы показать делимость на 15:

$5 \cdot 3 \cdot (n + 1)(3n - 1) = 15 \cdot (n + 1)(3n - 1)$

Так как $n$ — натуральное число ($n \geq 1$), то $n+1$ и $3n-1$ являются целыми числами. Их произведение $(n+1)(3n-1)$ также является целым числом.

В результате мы представили исходное выражение в виде произведения числа 15 и целого числа. Это доказывает, что выражение $(7n + 1)^2 - (2n - 4)^2$ делится на 15 без остатка при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Исходное выражение было преобразовано к виду $15 \cdot (n + 1)(3n - 1)$. Поскольку один из множителей равен 15, а второй множитель $(n + 1)(3n - 1)$ является целым числом при любом натуральном $n$, то все выражение делится на 15.