Номер 534, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 28. Формула разности квадратов. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 534, страница 168.

Условие.

534. Доказать, что разность квадратов любого натурального числа (большего 1) и числа, ему предшествующего в ряду натуральных чисел, есть нечётное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — произвольное натуральное число, большее 1. Это означает, что $n \in \mathbb{N}$ и $n > 1$. Число, которое ему предшествует в ряду натуральных чисел, будет равно $n-1$.

Нам необходимо доказать, что разность их квадратов является нечётным числом. Запишем это утверждение в виде математического выражения: $n^2 - (n-1)^2$

Для упрощения данного выражения можно использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = n$ и $b = n-1$. Применим формулу: $n^2 - (n-1)^2 = (n - (n-1))(n + (n-1))$

Теперь упростим выражения в скобках: $(n - n + 1)(n + n - 1) = (1)(2n - 1) = 2n - 1$

Результатом вычислений стало выражение $2n - 1$. По определению, нечётное число — это целое число, которое можно представить в виде $2k-1$ или $2k+1$, где $k$ — любое целое число.

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то оно также является целым. Произведение $2n$ всегда будет чётным числом. Если из чётного числа вычесть 1, результат всегда будет нечётным числом. Следовательно, выражение $2n - 1$ всегда обозначает нечётное число.

Таким образом, доказано, что разность квадратов любого натурального числа (большего 1) и предшествующего ему числа всегда является нечётным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов равна $n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1$, что является общей формулой нечётного числа для любого натурального $n$.