Номер 3, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 29. Квадрат суммы. Квадрат разности. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 3, страница 172.

Условие.

3. С помощью рисунка 18 обосновать справедливость формулы квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Решение 1.

Решение 5.

Формула квадрата суммы, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, может быть наглядно обоснована с помощью геометрической интерпретации, как это обычно демонстрируется на рисунке, подобном рисунку 18.

Рассмотрим квадрат, сторона которого равна сумме длин двух отрезков $a$ и $b$. Таким образом, длина стороны этого большого квадрата составляет $(a+b)$.

Площадь этого квадрата, как известно, равна квадрату его стороны. Следовательно, его площадь $S_{общ}$ равна: $S_{общ} = (a+b)^2$

Теперь разделим каждую сторону этого квадрата на отрезки длиной $a$ и $b$. Если провести через точки деления прямые, параллельные сторонам квадрата, то большой квадрат разобьется на четыре меньшие фигуры:

• Один квадрат со стороной $a$, расположенный в одном из углов. Его площадь равна $S_1 = a \cdot a = a^2$.
• Один квадрат со стороной $b$, расположенный в противоположном по диагонали углу. Его площадь равна $S_2 = b \cdot b = b^2$.
• Два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь каждого из этих прямоугольников равна $S_3 = S_4 = a \cdot b$.

Общая площадь большого квадрата также может быть вычислена как сумма площадей четырех составляющих его фигур:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$

Поскольку мы двумя разными способами вычислили площадь одной и той же фигуры, полученные выражения должны быть равны. Приравняв их, мы получаем тождество:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, с помощью геометрического построения мы обосновали справедливость формулы квадрата суммы для любых положительных $a$ и $b$.

Ответ: Справедливость формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ обосновывается геометрически. Площадь квадрата со стороной $(a+b)$ равна $(a+b)^2$. С другой стороны, этот же квадрат можно разбить на части: квадрат со стороной $a$ (площадь $a^2$), квадрат со стороной $b$ (площадь $b^2$) и два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (каждый площадью $ab$). Сумма площадей этих частей, $a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$, также равна площади большого квадрата. Приравнивая два выражения для площади, мы подтверждаем справедливость формулы.