Номер 4, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 29. Квадрат суммы. Квадрат разности. Глава 5. Разложение многочленов на множетели - номер 4, страница 172.

Условие.

4. Записать в виде куба одночлена:

1) $m^{12}$;

2) $n^{21}$;

3) $64x^3y^{24}$;

4) $\frac{1}{8}a^6y^{30}$.

Решение 1.

Решение 5.

1)
Чтобы представить одночлен $m^{12}$ в виде куба другого одночлена, нужно найти такой одночлен $A$, что $A^3 = m^{12}$. Используем свойство возведения степени в степень: $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$. Искомый одночлен будет иметь вид $m^k$. Тогда $(m^k)^3 = m^{3k}$. Приравнивая показатели степеней, получаем $3k = 12$, откуда $k = \frac{12}{3} = 4$. Таким образом, $m^{12} = (m^4)^3$.
Ответ: $(m^4)^3$.

2)
По аналогии с предыдущим заданием, для представления $n^{21}$ в виде куба ищем одночлен $A=n^k$ такой, что $(n^k)^3 = n^{21}$. Это приводит к уравнению $3k = 21$ для показателей степеней. Решая его, получаем $k = \frac{21}{3} = 7$. Следовательно, $n^{21} = (n^7)^3$.
Ответ: $(n^7)^3$.

3)
Чтобы представить одночлен $64x^3y^{24}$ в виде куба, необходимо извлечь кубический корень из каждого его множителя: числового коэффициента и каждой переменной в соответствующей степени. Для этого используем свойство $(a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n$.
1. Кубический корень из 64 равен 4, так как $4^3 = 64$.
2. Для $x^3$ показатель степени делится на 3: $3/3=1$. Получаем $x^1$ или $x$.
3. Для $y^{24}$ показатель степени делится на 3: $24/3=8$. Получаем $y^8$.
Собирая все множители, получаем искомый одночлен $4xy^8$. Таким образом, $64x^3y^{24} = (4xy^8)^3$.
Ответ: $(4xy^8)^3$.

4)
Для одночлена $\frac{1}{8}a^6y^{30}$ применяем тот же подход.
1. Кубический корень из коэффициента $\frac{1}{8}$ равен $\frac{1}{2}$, так как $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
2. Для $a^6$ делим показатель на 3: $6/3=2$. Получаем $a^2$.
3. Для $y^{30}$ делим показатель на 3: $30/3=10$. Получаем $y^{10}$.
Итоговый одночлен, который нужно возвести в куб, это $\frac{1}{2}a^2y^{10}$. Следовательно, $\frac{1}{8}a^6y^{30} = (\frac{1}{2}a^2y^{10})^3$.
Ответ: $(\frac{1}{2}a^2y^{10})^3$.