Номер 5, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Разложить на множители:

1) $-4a^8b + 12a^2b^3c;$

2) $-20x^6y - 35x^6;$

3) $7xy - y + 21x - 3;$

4) $12x^2 + 6y - 2x^2y - y^2;$

5) $16x^3 - xy^2;$

6) $a^3b - 25ab^3.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $-4a^8b + 12a^2b^3c$, необходимо найти общий множитель для обоих членов. Наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов -4 и 12 равен 4. Для переменных находим наименьшую степень каждого основания: для $a$ это $a^2$, для $b$ это $b^1$ или просто $b$. Таким образом, общий множитель — $4a^2b$. Часто для удобства выносят знак минус, если он стоит у первого члена. Вынесем за скобки $-4a^2b$. Для этого каждый член многочлена разделим на $-4a^2b$:

Первый член: $\frac{-4a^8b}{-4a^2b} = a^{8-2}b^{1-1} = a^6$.

Второй член: $\frac{12a^2b^3c}{-4a^2b} = -3a^{2-2}b^{3-1}c = -3b^2c$.

Собираем выражение: $-4a^2b(a^6 - 3b^2c)$.

Ответ: $-4a^2b(a^6 - 3b^2c)$

2) В выражении $-20x^6y - 35x^6$ найдем общий множитель. НОД для коэффициентов -20 и -35 равен 5. Общая переменная в одинаковой степени для обоих членов — это $x^6$. Вынесем за скобки общий множитель $-5x^6$:

Первый член: $\frac{-20x^6y}{-5x^6} = 4y$.

Второй член: $\frac{-35x^6}{-5x^6} = 7$.

В результате получаем: $-5x^6(4y + 7)$.

Ответ: $-5x^6(4y + 7)$

3) Для разложения многочлена $7xy - y + 21x - 3$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем попарно члены, имеющие общие множители:

$(7xy - y) + (21x - 3)$

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $y$, а из второй группы — общий множитель 3:

$y(7x - 1) + 3(7x - 1)$

Теперь мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель в виде скобки $(7x - 1)$. Вынесем эту скобку:

$(7x - 1)(y + 3)$

Ответ: $(7x - 1)(y + 3)$

4) В выражении $12x^2 + 6y - 2x^2y - y^2$ также используем метод группировки. Для удобства переставим члены местами, чтобы сгруппировать их по общим переменным:

$(12x^2 - 2x^2y) + (6y - y^2)$

Из первой группы выносим общий множитель $2x^2$. Из второй группы выносим общий множитель $y$:

$2x^2(6 - y) + y(6 - y)$

Теперь общим множителем является скобка $(6 - y)$. Выносим ее за скобки:

$(6 - y)(2x^2 + y)$

Ответ: $(6 - y)(2x^2 + y)$

5) В выражении $16x^3 - xy^2$ сначала вынесем за скобки общий множитель. Здесь это переменная $x$:

$x(16x^2 - y^2)$

Выражение в скобках, $16x^2 - y^2$, является разностью квадратов. Его можно представить в виде $(4x)^2 - (y)^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a = 4x$ и $b = y$.

$(4x - y)(4x + y)$

Подставим полученное разложение обратно в выражение:

$x(4x - y)(4x + y)$

Ответ: $x(4x - y)(4x + y)$

6) В выражении $a^3b - 25ab^3$ найдем и вынесем за скобки общий множитель. Общим для обоих членов является $ab$:

$ab(a^2 - 25b^2)$

Выражение в скобках, $a^2 - 25b^2$, представляет собой разность квадратов, так как его можно записать в виде $(a)^2 - (5b)^2$.

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = a$ и $B = 5b$.

$(a - 5b)(a + 5b)$

Окончательный вид разложения на множители:

$ab(a - 5b)(a + 5b)$

Ответ: $ab(a - 5b)(a + 5b)$